Matematická funkce vychází z pojmu zobrazení, jednoduše se pak dá poukázat na to, že funkce je speciální případ zobrazení. Zápis funkce také vychází z předpisu zobrazení $f: X → Y$.
Funkce se vyznačuje tím, že pro každé $x ∈ X$ existuje nejvýše jedno $y ∈ Y$ tak, že $(x, y) ∈ f$.
Toto je příklad funkce
Toto není funkce
Pokud Vás zajimají spíše funkce v programování, věnujeme jim samostatný článek.
Definice funkce
Při definice funkce stanovujeme její definiční obor, což je množina všech možných vstupních hodnot (argumentů funkce), které akceptuje daná funkce $f$. $$ f := \{ (x, f(x)) ∈ X × Y | x ∈ D_f \} $$
Množina všech hodnot (výsledků), kterých funkce $f$ na svém definičním oboru $D_f$ nabývá, se nazývá obor hodnot funkce $f$ a značí se $H_f$. Hodnoty funkcí se někdy nazývají funkční hodnoty. Je tedy $$ H_f := \{ f(x) | x ∈ D_f \} $$
Rozdíl mezi funkcí a zobrazením
Rozdíl mezi funkcí a zobrazením je obvykle patrný při jejich definování.
Zobrazení je obecnější pojem a můžeme si jej představit jako obyčejnou množinu uspořádaných dvojic (reprezentovanou tabulkou hodnot nebo grafem s hranami) s podmínkou jednoznačnosti. Každou uspořádanou dvojici (řádek tabulky či hranu grafu), můžeme chápat jako předpis přiřazující funkční hodnotu danému argumentu. Zobrazení je třeba chápat jako určitou závislost mezi veličinami, bez ohledu na to, zda je k dispozici nějaký vzorec.
Funkce bývá zadaná jediným předpisem či vzorcem a jeví se jako blackbox, do kterého vložíme nějakou hodnotu a na oplátku dostaneme jinou hodnotu. V případě funkce, ale můžeme být také obecnější a můžeme ji definovát po částech pomocí několika předpisů pro různé hodnoty vstupní proměnné. Takovým příkladem je třeba absolutní funkce, kdy pro proměnnou a ∈ (-∞, 0) platí jiný předpis než pro $a ∈ ⟨0,∞)$.
\[ |a| = \begin{cases} a & \quad a \geq 0\\ -a & \quad a \lt 0 \\ \end{cases} \]
Protože jsou funkce zároveň zobrazeními, přenášíme na ně analogicky typy zobrazení, takže máme prostou funkci, funkci na a bijektivní funkci. Také přenášíme operace zúžení funkce, skládání funkcí a inverzní funkce.
Graf funkce
Často pracujeme s funkcemi, u kterých očekáváme jako výsledek [číselné množiny], převážně reálné nebo komplexní. Výhodou číselné funkce je, že ji můžeme snadno vizualizovat, pomocí grafu.Grafem funkce $f$ nazýváme množinu bodů. Jde zcela o jiný typ grafu, než je graf reprezentovaný množinou bodů a hran z teorie grafů.
Vyjděme z toho, že funkce je podmnožina kartézského součinu. Graf funkce $f$ ve zvolené [soustavě souřadnic] 0xy v rovině je množina všech bodů $(x, f(x)) ∈ f$ Běžné je využití kartézského souřadnicového systému, kter chápeme jako rovinu s vyznačeným počátečním (bodem (0,0)) a vodorovnou souřadnou osou a svislou souřadnou osou Do grafu se zakreslují body. Hodnota proměnné $x$ je znázorňována na vodorovné ose a říká se jí **nezávislá proměnná** a $f(x)$ je hodnota funkce $f$ v bodě $x$ (o které mluvíme jako o **závislé proměnné**), která se znázorňuje na svislé ose.Vlastnosti funkcích
Monotonnost funkcí
Monotonnost je vlastnost, kterou mají funkce konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající. V grafu funkce, taková funkce nedělá vlny
, je nudná
.
- rostoucí na množině X, právě když pro každé $x_1, x_2 ∈ X$ splňující $x_1 < x_2$, platí $f(x_1) ≤ f(x_2)$.
- klesající na množině X, právě když pro každé $x_1, x_2 ∈ X$ splňující $x_1 < x_2$, platí $f(x_1) ≥ f(x_2)$.
- ostře rostoucí na množině X, právě když pro každé $x_1, x_2 ∈ X$ splňující $x_1 < x_2$, platí $f(x_1) < f(x_2)$
- ostře klesající na množině X, právě když pro každé $x_1, x_2 ∈ X$ splňující, $x_1 < x_2$, platí $f(x_1) > f(x_2)$.
Vlastnosti monotonních funkcí
Monotonnost
Pro spojité funkce platí implikace ryze monotonni => prostá.
Pokud je funkce na množině $D$ ostře monotonní, pak je na $D$ také prostá. Opak neplatí, protipříkladem je $\frac{1}{x}$ je prostá, ale není monotonní!
Periodičnost funkce
f je periodická s periodou P, jestliže ∀(x ∈ Df)( f(x+P)=f(x) )
Parita funkce
Sudé a liché funkce vykazují jisté druhy symetrie.
Součin liché a sudé funkce je lichá funkce.
Lichá funkce
DEFINICE: ∀(x ∈ Df)( f(−x)=−f(x) ).
Graf je souměrný podle počátku. Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce. Součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.
Sudá funkce
DEFINICE: ∀(x ∈ Df)( f(x)=f(−x) ).
Graf je souměrný podle y-ové osy. Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce. Součin dvou sudých funkcí je sudá funkce
Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.
Derivace sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.
Sudá i lichá zaroveň? Existuje právě jedna funkce a je to konstantní funkce f(x) = 0.
Základní elementářní funkce
Elementární funkce budeme lze vytvořit ze základních elementárních funkcí pomocí konečného počtu operací sčítání a násobení a skládání funkcí.