Zobrazení

Nechť jsou dány množiny X, Y, zobrazením rozumíme předpis který každému prvku a ∈ X přiřazuje právě jeden (podmínka jednoznačnosti) prvek.

Tedy přesně řečeno, jde o relaci f ⊆ X × Y, ve které pro každé x ∈ X existuje nejvýše jedno y ∈ Y tak, že (x,y) ∈ f. Takový vztah mezi prvky dvou množin můžeme zakreslit šipkou. Používáme zápis f: X ↦ Y. Skutečnost (x, y) ∈ f zapisujeme tradičně jako f(x) = y. Pro zobrazení se někdy používá i pojem funkce, historicky byl termín funkce rezervován pro zobrazení do reálných nebo komplexních čísel.

Formálně

(∀x ∈ X)(∃y ∈ Y)(y = f(x))

• Prvek y nazýváme hodnota f v bodě x, nebo obraz x při zobrazení f.
• Prvku x říkáme vzor prvku y při zobrazení f
• Definiční obor zobrazení f, tedy množinu X značíme též symbolem D_f nebo D(f).
• Množina všech obrazů při zobrazení f se nazáví obor hodnot zobzení f a značí se H_f.
  H_f = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X splňující y = f(x) }. Tento koncept je často využívaný v programovacích jazycích podporujících funkcionální paradigma.

Rovnost zobrazení

Dvě zobrazení f: A ↦ B a g: A ↦ B jsou si rovny, píšeme f = g, právě když f(x) = g(x), pro každé x ∈ A = D_f = D_g

---

Druhy zobrazení

Prosté zobrazení (injektivní)

Prostým zobrazením, resp. injektivním (též injekce) nazýváme zobrazením, u něho různé prvky množiny A zobrazuje na různé prvky množiny B.

• Pro každou dvojici $\forall x, y \in A$ platí $$x ≠ y \implies f(x) ≠ f(y)$$
• Nebo ekvivalentně, obměnou implikace: $$f(x) = f(y) ⇒ x=y$$

Zobrazení na (surjektivní)

Každý prvek množiny B se zobrazí na alespoň jeden prvek množiny A

$$ ∀b∈B, ∃a∈A$$ $$f(a)=b$$

Vzájemně jednoznačné (bijektivní)

Jestliže f je prosté a na.

Lemata:

• Každá ostře rostoucí (nebo ostře klesající) funkce je prostá. Opak ale neplatí, ne každá prostá funkce je ryze monotónní

Identické zobrazení

Buď A množina. Zobrazení id_A: A ↦ A definovaná předpisem id_A := x, x ∈ D_idA

Inverzní zobrazení

Je li f: A ↦ B prosté zobrazení, lze přiřadit právě jedno y z množiny Df = A tak, že x = f(y). Takto získané zobrazení nazýváme inverzní zobrazení k zobrazení f a značíme ho f^-1.

Totální zobrazení

D(f) = A

Parciální zobrazení

D(f) ⊂ A

---

Skládání zobrazení

Mějme g: X ↦ Y, f: Y ↦ Z, (f ∘ g)(x) := g(f(x)).

Vlastnosti

Jsou-li f, g prostá, pak je i f∘g prosté zobrazení.

• Je-li f∘g prosté, pak není f prosté zobrazení.
• Je-li f∘g prosté, pak je g prosté zobrazení.

Jsou-li f, g na, pak je i f∘g zobrazení na.

• Je-li f∘g na, pak je f zobrazení na.
• Je-li f∘g na, pak není g zobrazení na.

---

Zúžení zobrazení

Mějme g: E ↦ B, E ⊂ D_f = A. Značení g = f|_g. Toz namená, že předpis zůstává stejný, ale vstupní množinu zmenším.

---

Počet zobrazení

Mějme m = |M|, n = |N|

• Počet všech zobrazení, n^m
• jen injekce
  pokud množina n = m, n!
  když m < n, $\frac{n!}{(n-m)!}$

m ≥ n; n^m - #nesurjektivní
n^m

---

Příklad

Zobrazení f: ℕ → ℕ definované předpisem f(n) := n² pro každé n ∈ ℕ - je prosté, ale není na.
Splňují-li n, m ∈ ℕ rovnost f(n) = f(m), pak n² = m² a díky kladnosti i n = m.
Zobrazení nemůže být na, protože například pro m = 3 neexistuje přirozené číslo n ∈ ℕ splňující n² =3.