Zobrazení

Nechť jsou dány množiny $X$, $Y$, zobrazením rozumíme předpis, který každému prvku $a ∈ X$ přiřazuje právě jeden prvek (podmínka jednoznačnosti).

Přesněji jde o případ relace $f ⊆ X × Y$ s podmínkou, že pro každé $x ∈ X$ existuje nejvýše jedno $y ∈ Y$ tak, že $(x,y) ∈ f$.

Takový vztah mezi prvky dvou množin můžeme zakreslit šipkou. Používáme zápis $f: X ↦ Y$. Skutečnost $(x, y) ∈ f$ zapisujeme tradičně jako $f(x) = y$. Zobrazení se někdy používá i funkce jako synonymum. Někde je termín funkce chápán jako zobrazení do reálných nebo komplexních čísel.

Formálně

$(∀x ∈ X)(∃y ∈ Y)(y = f(x))$

• Prvek $y$ nazýváme hodnota f v bodě x, nebo obraz x při zobrazení f.
• Prvku $x$ říkáme vzor prvku y při zobrazení f
• Definiční obor zobrazení f, tedy množinu X značíme též symbolem D_f nebo D(f).
• Množina všech obrazů při zobrazení f se nazáví obor hodnot zobzení f a značí se H_f.

$H_f = \{ y ∈ Y | ∃ x ∈ X \text{ splňující } y = f(x) \}$

Rovnost zobrazení

Dvě zobrazení f: A ↦ B a g: A ↦ B jsou si rovny, píšeme f = g, právě když f(x) = g(x), pro každé $x ∈ A = D_f = D_g$

Druhy zobrazení

Prosté zobrazení (injektivní)

Prostým zobrazením, resp. injektivním (též injekce) nazýváme zobrazením, u něho různé prvky množiny A zobrazuje na různé prvky množiny B.

• Pro každou dvojici $\forall x, y \in A$ platí $x ≠ y \implies f(x) ≠ f(y)$
• Nebo ekvivalentně, obměnou implikace: $f(x) = f(y) ⇒ x=y$

Zobrazení na (surjektivní)

Každý prvek množiny B se zobrazí na alespoň jeden prvek množiny A.

$∀b∈B, ∃a∈A$ $f(a)=b$

Vzájemně jednoznačné (bijektivní)

Jestliže f je prosté a na.

Lemata:

• Každá ostře rostoucí (nebo ostře klesající) funkce je prostá. Opak ale neplatí, ne každá prostá funkce je ryze monotónní

Identické zobrazení

Buď A množina. Zobrazení id_A: A ↦ A definovaná předpisem id_A := x, x ∈ D_idA

Inverzní zobrazení

Je li f: A ↦ B prosté zobrazení, lze přiřadit právě jedno y z množiny Df = A tak, že x = f(y). Takto získané zobrazení nazýváme inverzní zobrazení k zobrazení f a značíme ho f^-1.

Totální zobrazení

D(f) = A

Parciální zobrazení

D(f) ⊂ A

Skládání zobrazení

Mějme g: X ↦ Y, f: Y ↦ Z, (f ∘ g)(x) := g(f(x)).

Vlastnosti zobrazení

Jsou-li f, g prostá, pak je i f∘g prosté zobrazení. Je-li f∘g prosté, pak není f prosté zobrazení. Je-li f∘g prosté, pak je g prosté zobrazení.

Jsou-li f, g na, pak je i f∘g zobrazení na.

• Je-li f∘g na, pak je f zobrazení na.
• Je-li f∘g na, pak není g zobrazení na.

Zúžení zobrazení

Mějme g: E ↦ B, E ⊂ D_f = A. Značení g = f|_g. Toz namená, že předpis zůstává stejný, ale vstupní množinu zmenším.

Počet zobrazení

Mějme m = |M|, n = |N|

Počet všech zobrazení, n^m jen injekce
pokud množina n = m, n! když m < n, $\frac{n!}{(n-m)!}$

m ≥ n; n^m - #nesurjektivní
n^m

Příklad

Zobrazení f: ℕ → ℕ definované předpisem f(n) := n² pro každé n ∈ ℕ - je prosté, ale není na.
Splňují-li n, m ∈ ℕ rovnost f(n) = f(m), pak n² = m² a díky kladnosti i n = m.
Zobrazení nemůže být na, protože například pro m = 3 neexistuje přirozené číslo n ∈ ℕ splňující n² =3.