Nechť jsou dány množiny X, Y, zobrazením rozumíme předpis který každému prvku a ∈ X přiřazuje právě jeden (podmínka jednoznačnosti) prvek.
Tedy přesně řečeno, jde o relaci f ⊆ X × Y, ve které pro každé x ∈ X existuje nejvýše jedno y ∈ Y tak, že (x,y) ∈ f. Takový vztah mezi prvky dvou množin můžeme zakreslit šipkou. Používáme zápis f: X ↦ Y. Skutečnost (x, y) ∈ f zapisujeme tradičně jako f(x) = y. Pro zobrazení se někdy používá i pojem funkce, historicky byl termín funkce rezervován pro zobrazení do reálných nebo komplexních čísel.
Formálně
(∀x ∈ X)(∃y ∈ Y)(y = f(x))
- Prvek y nazýváme hodnota f v bodě x, nebo obraz x při zobrazení f.
- Prvku x říkáme vzor prvku y při zobrazení f
- Definiční obor zobrazení f, tedy množinu X značíme též symbolem Df nebo D(f).
- Množina všech obrazů při zobrazení f se nazáví obor hodnot zobzení f a značí se Hf.
Hf = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X splňující y = f(x) }. Tento koncept je často využívaný v programovacích jazycích podporujících funkcionální paradigma.
Rovnost zobrazení
Dvě zobrazení f: A ↦ B a g: A ↦ B jsou si rovny, píšeme f = g, právě když f(x) = g(x), pro každé x ∈ A = Df = Dg
Druhy zobrazení
Prosté zobrazení (injektivní)
Prostým zobrazením, resp. injektivním (též injekce) nazýváme zobrazením, u něho různé prvky množiny A zobrazuje na různé prvky množiny B.
- Pro každou dvojici $\forall x, y \in A$ platí $$x ≠ y \implies f(x) ≠ f(y)$$
- Nebo ekvivalentně, obměnou implikace: $$f(x) = f(y) ⇒ x=y$$
Zobrazení na (surjektivní)
Každý prvek množiny B se zobrazí na alespoň jeden prvek množiny A
$$ ∀b∈B, ∃a∈A$$ $$f(a)=b$$Vzájemně jednoznačné (bijektivní)
Jestliže f je prosté a na.
Lemata:
- Každá ostře rostoucí (nebo ostře klesající) funkce je prostá. Opak ale neplatí, ne každá prostá funkce je ryze monotónní
Identické zobrazení
Buď A množina. Zobrazení idA: A ↦ A definovaná předpisem idA := x, x ∈ DidA
Inverzní zobrazení
Je li f: A ↦ B prosté zobrazení, lze přiřadit právě jedno y z množiny Df = A tak, že x = f(y). Takto získané zobrazení nazýváme inverzní zobrazení k zobrazení f a značíme ho f-1.Totální zobrazení
D(f) = A
Parciální zobrazení
D(f) ⊂ A
Skládání zobrazení
Mějme g: X ↦ Y, f: Y ↦ Z, (f ∘ g)(x) := g(f(x)).
Vlastnosti
Jsou-li f, g prostá, pak je i f∘g prosté zobrazení.
- Je-li f∘g prosté, pak není f prosté zobrazení.
- Je-li f∘g prosté, pak je g prosté zobrazení.
Jsou-li f, g na, pak je i f∘g zobrazení na.
- Je-li f∘g na, pak je f zobrazení na.
- Je-li f∘g na, pak není g zobrazení na.
Zúžení zobrazení
Mějme g: E ↦ B, E ⊂ Df = A. Značení g = f|g. Toz namená, že předpis zůstává stejný, ale vstupní množinu zmenším.
Počet zobrazení
Mějme m = |M|, n = |N|
- Počet všech zobrazení, nm
- jen injekce
pokud množina n = m, n!
když m < n, $\frac{n!}{(n-m)!}$
m ≥ n; nm - #nesurjektivní
nm
Příklad
Zobrazení f: ℕ → ℕ definované předpisem f(n) := n2 pro každé n ∈ ℕ - je prosté, ale není na.
Splňují-li n, m ∈ ℕ rovnost f(n) = f(m), pak n2 = m2 a díky kladnosti i n = m.
Zobrazení nemůže být na, protože například pro m = 3 neexistuje přirozené číslo n ∈ ℕ splňující n2 =3.