Algebra

Algebra je jeden ze základních matematických oborů a bývá nedílnou součástí matematických, informatických a technických studijních odvětví. Jde o obor matematiky, který se zabývá především abstrakcí (pojmů a vlastností) elementárních matematických objektů (jako jsou čísla, polynomy, matice apod.).

V matematice se v různých oblastech opakovaně objevují objekty, které mají podobnou strukturu, přestože jsou na první pohled zcela odlišné.

Algebra
Teogie grup
Elementární algebra

Historie

V roce 1800 lidé uměli řešit pomocí vzorců polynomy prvního až čtvrtého stupně. Matematici tehdejší doby se zabývali i řešitelností polynomů pátého stupně. Mladý Évariste Galois (1811 - 1832) dokázal elegantně vysvětlil, proč neexistuje vzorec na řešení polynomů pátého a vyššího stupně. Galois položil základy nové disciplíny teorie grup těsně před svou smrtí v souboji. Algebra ve své současné podobě a terminologii byla představena v roce 1839 knihou Moderne algebra nizozemským matematikem Bartecia Leenderta van der Vaernena.

Využití

  • Abstraktní vlastnosti struktur nám mohou pomoct lépe definovat kontrakty funkcí.
  • Obecná algebra se využívá v počítačové bezpečnosti a v kryptologii.
  • Při programování aplikací, chceme chceme mít jednoduchý kód, který se snadněji udržuje. Pokud dokážeme zobecnit, některé struktury, můžeme psát lepší kód.
Užitečná je také při funkcionálním programování a pomáhá nám ujasnit si otázky typu:
  • Monoidy a pologrupy se uplatní všude tam, kde se dělají agregace
  • Musím něco spouštět dvakrát zasebou?
  • V jakém pořadí musím spouštět funkce
  • Ovlivní funkce ostatní části programu? Jak interaguje s ostatními?
  • Může běžet výpočet paralelně? Pokud víme, že je struktura asociativní a uzavřená, pak ano.

 

Algebraitské struktury

Algebra se tedy zabývá objekty, které se skládají se ze dvou ingrediencí: základní množiny a operací:

Těleso

AlgebraGrupa

Grupa

Algebra

Grupoid

Algebra

Monoid

Algebra

Pologrupa

Algebra

Polynom

Algebra