Logaritmus

Po roce 1600, se zlepšila pozorovací techniky. Vynalez teleskop umožnil astronomům zkoumat oběžné dráhy planet a pohyby hvězd a matematikům modelovat tyto složité jevy. Vznikla tak potřeba zefektivnit metody pro provádění složitějších výpočtů. Tehdy se výpočty prováděly ručně, což bylo pracné, zdlouhavé a vedlo to k chybám.

K vynálezu logaritmů dospělo tehdy krátce po sobě několik matematiků. Prvenství je připisováno skotskému matematik Johnu Napierovi, který si všiml, že mnoho výpočtů zahrnuje operace násobení a dělení velkých čísel. Vymyslel logaritmus jako metodu, kterou se dá násobení a dělení převést na operace na sčítání a odečítání, což značně usnadňuje a zrychluje počítání.

Jejich princip stojí za touhle úvahou, např. zvolíme základ 2:

Pokud se nám sejde násobení stejných čísla (základy), můžeme jen sečíst jejich exponenty. U dělení stačí odečítat exponenty.

Logaritmy ocenil i Laplace, který zřejmě řekl výrok

Logaritmy zkrátili výpočty a prodloužili život astronoma na dvojnásobek.

Mnoho přírodních jevů má exponenciální nebo logaritmyckou závislost - množení buněk a virů, pH v chemii, elektrotechnika apod.

Definice

Číslo $y = log_a x$ nazýváme logaritmem čísla $x$ při základu $a$, pro které platí $a^y = x$.

Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla $x$, tedy definiční obor je $(0 ∞)$. Základ logaritmu $a$ by měl být kladné reální číslo různé od 1.

Často se pracuje s dekadickými logaritmy $a=10$ ($log_{10}$), nebo s přirozenými logaritmy jejichž základem je Eulerova konstanta $e$ ($ln$ nebo $log_{e}$). V programování se setkáme častěji s logaritmy o základu 2, protože počítáme s binárními čísly.

Funkce

Když základ $a < 1$ grafem je funkce rostoucí, pokud $a ∈ (0, 1)$ pak je klesající. Funkce tak může nabývat libovolné reálné hodnoty, a proto je obor hodnot (-∞, +∞).

Graf logarytmu nám umožňuje efektivně zobrazovat velké číselné škály.

Parita funkce

Pokud by logaritmus měl sudou paritu, musí platit, že $log_b(-x) = log_b(x)$ a aby měl lichou paritu, pak má platit $log_b(-x) = -log_b(x)$. Avšak není definován pro záporné $x$, takže nemůže být sudou funkcí.

Inverze

Logaritmická funkce je prostá a proto má inverzní funkci, kterou je exponenciální funkce. Z definice, logaritmus čísla $x$ se základem $a$ je tedy exponent, na který je třeba základ $a$ umocnit, aby se získalo číslo $x$.

Příklad limit

$\lim\limits_{x \to +∞} \log_2{x} = +∞$

$\lim\limits_{x \to 0+} \log_2{x} = -∞$

$\lim\limits_{x \to -∞} \log_{1/2}x = -∞$

$\lim\limits_{x \to 0+} \log_{1/2}x = +∞$