Logaritmus

@andrea@andrea

Po roce 1600, se zlepšila pozorovací techniky. Vynalez teleskop umožnil astronomům zkoumat oběžné dráhy planet a pohyby hvězd a matematikům modelovat tyto složité jevy. Vznikla tak potřeba zefektivnit metody pro provádění složitějších výpočtů. Tehdy se výpočty prováděly ručně, což bylo pracné, zdlouhavé a vedlo to k chybám.

K vynálezu logaritmů dospělo tehdy krátce po sobě několik matematiků. Prvenství je připisováno skotskému matematik Johnu Napierovi, který si všiml, že mnoho výpočtů zahrnuje operace násobení a dělení velkých čísel. Vymyslel logaritmus jako metodu, kterou se dá násobení a dělení převést na operace na sčítání a odečítání, což značně usnadňuje a zrychluje počítání.

Jejich princip stojí za touhle úvahou, např. zvolíme základ 2:

2224=222222=22+42^2 \cdot 2^4 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^{2+4}

Pokud se nám sejde násobení stejných čísla (základy), můžeme jen sečíst jejich exponenty. U dělení stačí odečítat exponenty.

Logaritmy ocenil i Laplace, který zřejmě řekl výrok

Logaritmy zkrátili výpočty a prodloužili život astronoma na dvojnásobek.

Mnoho přírodních jevů má exponenciální nebo logaritmyckou závislost - množení buněk a virů, pH v chemii, elektrotechnika apod.

Definice

Číslo y=logaxy = log_a x nazýváme logaritmem čísla xx při základu aa, pro které platí ay=xa^y = x.

Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla xx, tedy definiční obor je (0)(0 ∞). Základ logaritmu aa by měl být kladné reální číslo různé od 1.

Často se pracuje s dekadickými logaritmy a=10a=10 (log10log_{10}), nebo s přirozenými logaritmy jejichž základem je Eulerova konstanta ee (lnln nebo logelog_{e}). V programování se setkáme častěji s logaritmy o základu 2, protože počítáme s binárními čísly.

Funkce

Když základ a<1a < 1 grafem je funkce rostoucí, pokud a(0,1)a ∈ (0, 1) pak je klesající. Funkce tak může nabývat libovolné reálné hodnoty, a proto je obor hodnot (-∞, +∞).

Graf logarytmu nám umožňuje efektivně zobrazovat velké číselné škály.

Parita funkce

Pokud by logaritmus měl sudou paritu, musí platit, že logb(x)=logb(x)log_b(-x) = log_b(x) a aby měl lichou paritu, pak má platit logb(x)=logb(x)log_b(-x) = -log_b(x). Avšak není definován pro záporné xx, takže nemůže být sudou funkcí.

Inverze

Logaritmická funkce je prostá a proto má inverzní funkci, kterou je exponenciální funkce. Z definice, logaritmus čísla xx se základem aa je tedy exponent, na který je třeba základ aa umocnit, aby se získalo číslo xx.

Příklad limit

limx+log2x=+\lim\limits_{x \to +∞} \log_2{x} = +∞

limx0+log2x=\lim\limits_{x \to 0+} \log_2{x} = -∞

limxlog1/2x=\lim\limits_{x \to -∞} \log_{1/2}x = -∞

limx0+log1/2x=+\lim\limits_{x \to 0+} \log_{1/2}x = +∞