Po roce 1600, se zlepšila pozorovací techniky. Vynalez teleskop umožnil astronomům zkoumat oběžné dráhy planet a pohyby hvězd a matematikům modelovat tyto složité jevy. Vznikla tak potřeba zefektivnit metody pro provádění složitějších výpočtů. Tehdy se výpočty prováděly ručně, což bylo pracné, zdlouhavé a vedlo to k chybám.
K vynálezu logaritmů dospělo tehdy krátce po sobě několik matematiků. Prvenství je připisováno skotskému matematik Johnu Napierovi, který si všiml, že mnoho výpočtů zahrnuje operace násobení a dělení velkých čísel. Vymyslel logaritmus jako metodu, kterou se dá násobení a dělení převést na operace na sčítání a odečítání, což značně usnadňuje a zrychluje počítání.
Jejich princip stojí za touhle úvahou, např. zvolíme základ 2:
Pokud se nám sejde násobení stejných čísla (základy), můžeme jen sečíst jejich exponenty. U dělení stačí odečítat exponenty.
Logaritmy ocenil i Laplace, který zřejmě řekl výrok
Logaritmy zkrátili výpočty a prodloužili život astronoma na dvojnásobek.
Mnoho přírodních jevů má exponenciální nebo logaritmyckou závislost - množení buněk a virů, pH v chemii, elektrotechnika apod.
Definice
Číslo nazýváme logaritmem čísla při základu , pro které platí .
Logaritmus je definován pouze pro kladná čísla , tedy definiční obor je . Základ logaritmu by měl být kladné reální číslo různé od 1.
Často se pracuje s dekadickými logaritmy (), nebo s přirozenými logaritmy jejichž základem je Eulerova konstanta ( nebo ). V programování se setkáme častěji s logaritmy o základu 2, protože počítáme s binárními čísly.
Funkce
Když základ grafem je funkce rostoucí, pokud pak je klesající. Funkce tak může nabývat libovolné reálné hodnoty, a proto je obor hodnot (-∞, +∞).
Graf logarytmu nám umožňuje efektivně zobrazovat velké číselné škály.
Parita funkce
Pokud by logaritmus měl sudou paritu, musí platit, že a aby měl lichou paritu, pak má platit . Avšak není definován pro záporné , takže nemůže být sudou funkcí.
Inverze
Logaritmická funkce je prostá a proto má inverzní funkci, kterou je exponenciální funkce. Z definice, logaritmus čísla se základem je tedy exponent, na který je třeba základ umocnit, aby se získalo číslo .
Příklad limit