y = lnex = ln x
| D(f) | (0 ∞) |
| H(f) | ℝ |
| Inverzní k funkci ex. Ani sudá, ani lichá. Je prostá, není omezená. | |
| Monotonnost funkce | rostoucí |
| Limita | $\lim\limits_{x \to +∞} \ln{x} = +∞ $ $\lim\limits_{x \to 0+} \ln{x} = -∞ $ |
Vlastnosti přirozeného logaritmu (Věta):
Přirozený logaritmus ln má následující vlastnosti:
- pro každé x ∈ R platí ln e x = x a pro každé x ∈ (0, +∞) platí eln x = x,
- ln e = 1, ln 1 = 0,
- pro x, y ∈ (0, +∞) platí ln(xy) = ln x + ln y.
Exponenciální funkce ex je ostře rostoucí (a tedy i prostá) a také je kladná pro každé x. Obor hodnot je (0, +∞). Existuje tedy inverzní funkce k exponenciále, která je také ostře rostoucí a zobrazuje (0, +∞) na R. Tuto funkci nazýváme přirozeným logaritmem
VĚTA: (ab)x = axbx
DÚKAZ: (ab)x = ex·ln(ab) = ex(ln a+ln b) =
ex·ln aex·ln b = axbx
$-log(x) = log_{1/e}(x)$
alogax = logaax = x