Naučte se

Přirozený logaritmus

y = lnex = ln x

D(f) (0 ∞)
H(f)
Inverzní k funkci ex. Ani sudá, ani lichá. Je prostá, není omezená.
Monotonnost funkce rostoucí
Limita $\lim\limits_{x \to +∞} \ln{x} = +∞ $
$\lim\limits_{x \to 0+} \ln{x} = -∞ $

Vlastnosti přirozeného logaritmu (Věta):

Přirozený logaritmus ln má následující vlastnosti:

  • pro každé x ∈ R platí ln e x = x a pro každé x ∈ (0, +∞) platí eln x = x,
  • ln e = 1, ln 1 = 0,
  • pro x, y ∈ (0, +∞) platí ln(xy) = ln x + ln y.

Exponenciální funkce ex je ostře rostoucí (a tedy i prostá) a také je kladná pro každé x. Obor hodnot je (0, +∞). Existuje tedy inverzní funkce k exponenciále, která je také ostře rostoucí a zobrazuje (0, +∞) na R. Tuto funkci nazýváme přirozeným logaritmem

VĚTA: (ab)x = axbx
DÚKAZ: (ab)x = ex·ln(ab) = ex(ln a+ln b) = ex·ln aex·ln b = axbx

$-log(x) = log_{1/e}(x)$

alogax = logaax = x

Související