Definice Funkce

@andrea@andrea

Při definování funkce stanovujeme zároveň její definiční obor, což je množina všech možných vstupních hodnot (argumentů funkce), které můžeme vložit za x do funkce ff.

f:={(x,f(x))X×YxDf}f := \{ (x, f(x)) ∈ X × Y | x ∈ D_f \}

Množina všech hodnot (výsledků), kterých funkce ff na svém definičním oboru DfD_f nabývá, se nazývá obor hodnot funkce ff a značí se HfH_f. Hodnoty funkcí se někdy nazývají funkční hodnoty. Je tedy

Hf:={f(x)xDf}H_f := \{ f(x) | x ∈ D_f \}

Graf funkce

Často pracujeme s funkcemi, u kterých očekáváme jako výsledek číselné množiny, převážně reálné nebo komplexní. Výhodou číselné funkce je, že ji můžeme snadno vizualizovat, pomocí grafu.

Grafem funkce ff nazýváme množinu bodů. Jde zcela o jiný typ grafu, než je graf reprezentovaný množinou bodů a hran z teorie grafů.

Vyjděme z toho, že funkce je podmnožina kartézského součinu. Graf funkce ff ve zvolené soustavě souřadnic 0xy v rovině je množina všech bodů (x,f(x))f(x, f(x)) ∈ f

Běžné je využití kartézského souřadnicového systému, kter chápeme jako rovinu s vyznačeným počátečním (bodem (0,0)) a vodorovnou souřadnou osou a svislou souřadnou osou

Do grafu se zakreslují body. Hodnota proměnné xx je znázorňována na vodorovné ose a říká se jí nezávislá proměnná a f(x)f(x) je hodnota funkce ff v bodě xx (o které mluvíme jako o závislé proměnné), která se znázorňuje na svislé ose.

Monotonnost funkcí

Monotonnost je vlastnost, kterou mají funkce konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající. Graf takové funkce nedělá vlny, je nudná.

O funkci prohlásíme, že je

Vlastnosti monotonních funkcí

Pro spojité funkce platí implikace ryze monotonni => prostá.

Pokud je funkce na množině DD ostře monotonní, pak je na DD také prostá. Opak neplatí, protipříkladem je 1x\frac{1}{x} je prostá, ale není monotonní!

Periodičnost funkce

Funkce f je periodická s periodou P, jestliže platí: (xDf)(f(x+P)=f(x)) ∀(x ∈ Df)( f(x+P)=f(x) )

Příkladem periodické funkce je sinus, cosinus.

Parita funkce

Funkce má paritu, pokud je sudá nebo lichá. Tyto funkce vykazují jisté druhy symetrie.

Lichá funkce

(xDf)(f(x)=f(x))∀(x ∈ D_f)( f(−x)=−f(x) )

Graf je souměrný podle počátku, bodu [0, 0]. Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce. Součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.

Sudá funkce

Pro sudou funkci, pro všechna xx v definičním oboru funkce platí: f(x)=f(x)f(x)=f(−x)

Příkladem sudých funkcí f(x)=x2f(x) = x^2, cos(x)cos(x) a polynomy se sudými stupni (např. x4x^4, x6x^6 atd.).

Graf funkce má symetrii vzhledem k vertikální ose y, což znamená, že hodnota funkce je stejná pro xx a x-x.

Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce. Součin dvou sudých funkcí je sudá funkce.

Operace

Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.

Derivace sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.

Sudá i lichá zaroveň? Existuje právě jedna funkce a je to konstantní funkce f(x) = 0.