Definice Funkce

Při definování funkce stanovujeme zároveň její definiční obor, což je množina všech možných vstupních hodnot (argumentů funkce), které můžeme vložit za x do funkce $f$.

Množina všech hodnot (výsledků), kterých funkce $f$ na svém definičním oboru $D_f$ nabývá, se nazývá obor hodnot funkce $f$ a značí se $H_f$. Hodnoty funkcí se někdy nazývají funkční hodnoty. Je tedy

Graf funkce

Často pracujeme s funkcemi, u kterých očekáváme jako výsledek číselné množiny, převážně reálné nebo komplexní. Výhodou číselné funkce je, že ji můžeme snadno vizualizovat, pomocí grafu.

Grafem funkce $f$ nazýváme množinu bodů. Jde zcela o jiný typ grafu, než je graf reprezentovaný množinou bodů a hran z teorie grafů.

Vyjděme z toho, že funkce je podmnožina kartézského součinu. Graf funkce $f$ ve zvolené soustavě souřadnic 0xy v rovině je množina všech bodů $(x, f(x)) ∈ f$

Běžné je využití kartézského souřadnicového systému, kter chápeme jako rovinu s vyznačeným počátečním (bodem (0,0)) a vodorovnou souřadnou osou a svislou souřadnou osou

Do grafu se zakreslují body. Hodnota proměnné $x$ je znázorňována na vodorovné ose a říká se jí nezávislá proměnná a $f(x)$ je hodnota funkce $f$ v bodě $x$ (o které mluvíme jako o závislé proměnné), která se znázorňuje na svislé ose.

Monotonnost funkcí

Monotonnost je vlastnost, kterou mají funkce konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající. Graf takové funkce nedělá vlny, je nudná.

O funkci prohlásíme, že je

• rostoucí na množině X, právě když pro každé $x_1, x_2 ∈ X$ splňující $x_1 < x_2$, platí $f(x_1) ≤ f(x_2)$.
• klesající na množině X, právě když pro každé $x_1, x_2 ∈ X$ splňující $x_1 < x_2$, platí $f(x_1) ≥ f(x_2)$.
• ostře rostoucí na množině X, právě když pro každé $x_1, x_2 ∈ X$ splňující $x_1 < x_2$, platí $f(x_1) < f(x_2)$
• ostře klesající na množině X, právě když pro každé $x_1, x_2 ∈ X$ splňující, $x_1 < x_2$, platí $f(x_1) > f(x_2)$.

Vlastnosti monotonních funkcí

Pro spojité funkce platí implikace ryze monotonni => prostá.

Pokud je funkce na množině $D$ ostře monotonní, pak je na $D$ také prostá. Opak neplatí, protipříkladem je $\frac{1}{x}$ je prostá, ale není monotonní!

Periodičnost funkce

Funkce f je periodická s periodou P, jestliže platí: $∀(x ∈ Df)( f(x+P)=f(x) )$

Příkladem periodické funkce je sinus, cosinus.

Parita funkce

Funkce má paritu, pokud je sudá nebo lichá. Tyto funkce vykazují jisté druhy symetrie.

Lichá funkce

$∀(x ∈ D_f)( f(−x)=−f(x) )$

Graf je souměrný podle počátku, bodu [0, 0]. Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce. Součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.

Sudá funkce

Pro sudou funkci, pro všechna $x$ v definičním oboru funkce platí: $f(x)=f(−x)$

Příkladem sudých funkcí $f(x) = x^2$, $cos(x)$ a polynomy se sudými stupni (např. $x^4$, $x^6$ atd.).

Graf funkce má symetrii vzhledem k vertikální ose y, což znamená, že hodnota funkce je stejná pro $x$ a $-x$.

Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce. Součin dvou sudých funkcí je sudá funkce.

Operace

Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.

Derivace sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.

Sudá i lichá zaroveň? Existuje právě jedna funkce a je to konstantní funkce f(x) = 0.