Při definování funkce stanovujeme zároveň její definiční obor, což je množina všech možných vstupních hodnot (argumentů funkce), které můžeme vložit za x do funkce .
Množina všech hodnot (výsledků), kterých funkce na svém definičním oboru nabývá, se nazývá obor hodnot funkce a značí se . Hodnoty funkcí se někdy nazývají funkční hodnoty. Je tedy
Graf funkce
Často pracujeme s funkcemi, u kterých očekáváme jako výsledek číselné množiny, převážně reálné nebo komplexní. Výhodou číselné funkce je, že ji můžeme snadno vizualizovat, pomocí grafu.
Grafem funkce nazýváme množinu bodů. Jde zcela o jiný typ grafu, než je graf reprezentovaný množinou bodů a hran z teorie grafů.
Vyjděme z toho, že funkce je podmnožina kartézského součinu. Graf funkce ve zvolené soustavě souřadnic 0xy v rovině je množina všech bodů
Běžné je využití kartézského souřadnicového systému, kter chápeme jako rovinu s vyznačeným počátečním (bodem (0,0)) a vodorovnou souřadnou osou a svislou souřadnou osou
Do grafu se zakreslují body. Hodnota proměnné je znázorňována na vodorovné ose a říká se jí nezávislá proměnná a je hodnota funkce v bodě (o které mluvíme jako o závislé proměnné), která se znázorňuje na svislé ose.
Monotonnost funkcí
Monotonnost je vlastnost, kterou mají funkce konstantní, rostoucí, klesající, příp. nerostoucí, či neklesající.
Graf takové funkce nedělá vlny
, je nudná
.
O funkci prohlásíme, že je
- rostoucí na množině X, právě když pro každé splňující , platí .
- klesající na množině X, právě když pro každé splňující , platí .
- ostře rostoucí na množině X, právě když pro každé splňující , platí
- ostře klesající na množině X, právě když pro každé splňující, , platí .
Vlastnosti monotonních funkcí
Pro spojité funkce platí implikace ryze monotonni => prostá.
Pokud je funkce na množině ostře monotonní, pak je na také prostá. Opak neplatí, protipříkladem je je prostá, ale není monotonní!
Periodičnost funkce
Funkce f
je periodická s periodou P, jestliže platí:
Příkladem periodické funkce je sinus, cosinus.
Parita funkce
Funkce má paritu, pokud je sudá nebo lichá. Tyto funkce vykazují jisté druhy symetrie.
Lichá funkce
Graf je souměrný podle počátku, bodu [0, 0]. Součet dvou lichých funkcí je lichá funkce, konstantní násobek liché funkce je taktéž lichá funkce. Součin dvou lichých funkcí je také sudá funkce.
Sudá funkce
Pro sudou funkci, pro všechna v definičním oboru funkce platí:
Příkladem sudých funkcí , a polynomy se sudými stupni (např. , atd.).
Graf funkce má symetrii vzhledem k vertikální ose y, což znamená, že hodnota funkce je stejná pro a .
Součet dvou sudých funkcí je sudá funkce, konstantní násobek sudé funkce je taktéž sudá funkce. Součin dvou sudých funkcí je sudá funkce.
Operace
Součin liché funkce a sudé funkce je lichá funkce.
Derivace sudé funkce je lichá funkce, derivace liché funkce je sudá funkce.
Sudá i lichá zaroveň? Existuje právě jedna funkce a je to konstantní funkce f(x) = 0.