Exponenciální funkce

Definice

Exponenciální funkce má neznámou $x$ na místě exponentu, $x\inℝ$ . Tato funkce $f$ má tvar

$f(x)=a^x, \quad a\inℝ, a>0, a≠1.$

Dvě tváře exponenciální funkce

Exponenciální funkce se často definuje dvěma odlišnýma způsobama. Hlavní rozdíl je v tom, jak chápeme operaci mocnění. První způsob, který nás učí už na základní škole, je chápat přirozené číslo v exponentu jako číslo udávající „kolikrát násobíme základ sám se sebou“.

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{ krát}}$

Tento přístup není špatně a jistě nám dává správný výsledek. Jeho nespornou výhodou je snadné pochopení a výpočet.

Druhý způsob je obecnější a neomezuje exponent na přirozené číslo. Můžeme vycházet z přirozené exponenciální funkce, která má jako základ Eulerovo číslo $e$ . Tento způsob je vhodnější pokud se chystáme funkci integrovat nebo derivovat.

Základ funkce

Proměnná $a$ se nazývá se základ funkce, v některé literatuře mocněnec. Funkci nazýváme exponenciálou o základu a, a na x.Také se používá mocníme číslo a na x-tou. V praxi běžně chceme pracovat s libovolným základem. Výběrem základu můžeme narazit na dva problémy a tím jsou záporná čísla a číslo 1.

Proč základ nesmí být roven 1?

Ze základu $a$ vylučujeme číslo jedna protože, bychom dostali konstantní funkci. Jedna na cokoliv je vždy jedna.

Proč $a$ musí být kladné?

Předpokládejme, že je základ záporné číslo $a$ podívejme se na následující exponenciální funkci: $f(x)=(-2)^x$ . Když nyní za x dosadíme $\frac{1}{2}$ , dostaneme $y=(-2)^\frac{1}{2}=\sqrt{-2}$ . My ale víme, že odmocnina ze záporného čísla neexistuje.

Graf funkce

Grafem exponenciální funkce je exponenciální křivka, respektive exponenciála. Na její podobu má největší vliv základ mocniny. Všimněte si, že číslo jedna je pro exponenciální funkci opravdu zlomové. Samotný základ a=1 dělá z exponenciální funkce funkci konstantní. Pokud je základ a > 1 exponenciální funkce bude růst, naopak pokud základ volíme a ∈ (0, 1) bude klesat na celém intervalu.

Grafy exponenciálních funkcí $a^x$ a $\frac{1}{a}^x$ jsou si vzájemně symetrické podle osy y.

Ze 100 při základu 1,1 po 10 cyklech bude 259.

Součet všech 10 cyklů je 1 852.

D(f)	x ∈ ℝ
H(f)	(0, ∞) - Definičním oborem exponenciální funkce jsou všechna reálná čísla
Parita	Ani sudá ani lichá.
Vlastnosti	Prostá funkce, inverzní funkcí je Logaritmus. Zdola omezená.
Monotonnost	Obecně není ani rostoucí, ani klesající. a > 1; rostoucí funkce a ∈ (0, 1) klesající funkce

Základní vlastnosti

Graf exponenciální funkce $f(x) → a^x$ vždy prochází bodem $(0, 1)$ .

Derivace

Derivace exponenciální funkce je také exponenciála.

Operace s exponenciální funkcí

Základ na nultou

$a^0 = 1$

$1 = \frac{a^x}{a^x} = a^{x-x}=a^0.$

Násobení exponenciální funkce o stejném základu

$a^{x+y} = a^x \cdot a^y$

\begin{align*} a^xa^y &= \underbrace{a \times \cdots \times a}_{x \text{ krát}} \times \underbrace{a \times \cdots \times a}_{y \text{ krát}}\\ &= \underbrace{a \times \cdots \times a}_{x+y \text{ krát}}\\ &=a^{x+y}. \end{align*}

Exponent na exponent

(a^x)^y = a^xy

\begin{align*} (a^x)^y &= \underbrace{a^x \times a^x \times \cdots \times a^x}_{y\text{ krát}}\\ &= a^{\overbrace{x + x + \cdots + x}^{y\text{ krát}}}\\ &= a^{xy}. \end{align*}

Exponent součtu

(ab)^x = a^xb^x

\begin{align*} (ab)^x &= \underbrace{(ab) \times (ab) \times \cdots \times (ab)}_{x\text{ krát}}\\ &= \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{x\text{ krát}}\times\underbrace{b \times b \times \cdots \times b}_{a\text{ krát}}\\ &= a^x b^x. \end{align*}

Motivace

K čemu je exponenciála dobrá? Překvapivě se nachází v mnoha každodenních věcech. Problémem je, že chování exponenciály není intuitivní a lidem je bližší lineární chápání.

Většina lidí, když říká „exponenciální“, myslí tím obvykle „rychle rostoucí“. Exponenciální růst může být skutečně rychlý. Nebo to může být pomalý. Nesnesitelně pomalý. I když jakákoli exponenciální křivka nakonec porazí jakoukoli lineární křivkou, může to trvat dlouho.

Pokud vyděláváte milion korun denně, vaše bohatství roste rychle, ale ne exponenciálně. A pokud máte v bance 100 korun vydělávajících 3% složený úrok, vaše peníze rostou pomalu, ale rostou exponenciálně. Lineární růst je konstantní množství nárůstu za jednotku času. Exponenciální růst je konstantní procentuální nárůst za jednotku času.

Neznalost exponenciály vás může v dnešní době vystavit skutečnému riziku. Nevěříte? Například rozhodne o tom, zda skončíte v chudobě nebo bohatství. Kupříkladu, nechcete si půjčit peníze se složeným úročení, protože částka roste v průběhu času exponenciálně, zatímco jednoduché úročení se zvyšuje lineárně. Naopak, jestli uděláte investici, která kopíruje exponenciální růst, může to v dlouhodobém horizontu udělat markantní rozdíl. Říkáte si, že sipůjčovat nebudete a investice vás nezajímají? Co když budete myslet na důchod a řeknete si, že vám stačí odkládat si každý měsíc určitou částku peněz do trezoru, tak díky inflaci, která má exponenciální povahu můžete zjistit, že jste odkládali daleko více, než kolik si pak z úspor budete moci koupit.

S exponenciálou se určitě setkáte ve zdravotnictví. V čem tkví nebezpečnost infekcí a nádorů? Právě v exponenciálním růstu. Dělení buněk virů a bakterií probíhá exponenciální řadou. Má to, ale i svou světlou stránku. Váš život vznikl, taky takhle díky exponenciále.