Posloupnost

Posloupností se snažíme formalizovat proces probíhající v diskrétních krocích. V běžném životě si představíme např.

proces probíhající v čase, kterým může být vývoj kurzu bitcoinu nebo akcií
měření teploty nebo jiných fyzikálních veličin

Lidé mají tendenci v každodenním životě pracovat s konečnými posloupnostmi, nicméně v matematické analýze se používají posloupnosti nekonečné. Všechny důležité pojmy jako např. omezenost posloupností, divergence, limity nemá smysl u konečných posloupností zavádět. Pro popsání konečných poslopností použijme spíše strukturu n-tice čísel či vektorů.

V matematickém chápání je posloupnost nekonečný uspořádaný seznam čísel nebo objektů, proto si ji zadefinujeme jako zobrazení s určitým pořadím, které zobrazuje množinu přirozených čísel (nebo jinou indexovou množinu) na množinu čísel (často reálných čísel) nebo objektů.

(a_n)_{n=1}^\infty, a_n \in ℝ

Prvky posloupnosti

Prvky posloupnosti se často značí pomocí malých písmen latinky, například $a_n$ a nazýváme je n-tým členem posloupnosti $a$ . Jsou indexovány přirozenými číslemy, obvykle indexy začínají číslem 1.

Jak zadat posloupnost?

Posloupnost můžeme definovat explicitně nebo implicitně.

Explicitní definice, vzorečkem

Běžně se k posloupnostem přistupuje jako k zobrazení množiny ℕ do množiny ℝ, $f: ℕ → ℝ$ . A stejným funkčím přístupem, tak i tady můžeme posloupnost zadat pomocí vzorce, který nám umožní přímo vypočítat každý člen posloupnosti na základě jeho indexu.

Předpis může být vyjádřen například pomocí algoritmů, funkcí nebo vzorců. Pracujeme s prvky jako s funkčními hodnotami $a$ v bodě $n$ , tj. $a(n)$ . Tedy, $a_n = f(n)$ , kde $f$ je funkce a $n$ je index.

Rekurzivní definice (implicitní)

Posloupnost je zadána pomocí rekurentního vztahu, který popisuje vztah mezi členy posloupnosti. Každý další člen posloupnosti je určen na základě jednoho nebo více předchozích členů.

Slovně nebo soeciálním požadavkem

Existují posloupnosti, které nejdou zadat vzorcem, ale můžeme snadno definovat jejich členy a pořadí. Například známá posloupnost prvočísel, členové čísla pí.

Příklady známých posloupností

Posloupnost čtvercových nebo kubických čísel

Triválním příkladem posloupnosti je posloupnost čtvercových čísel definovaná jako $a_n = n^2$ . Obdobně u kubických $a_n = n^3$

Aritmetická posloupnost

Běžně používaná posloupnost, kde se sousední členové liší o konstantní rozdíl $d$ (diference). $a_n = a_1 + (n-1)d$

Fibonacciho posloupnost

Známá rekurentní posloupnost, $a_n = a_(n-1) + a_(n-2)$ pro n > 2, a počátečními podmínkami $a_1 = 1$ a $a_2 = 1$ .

Součet prvních n členů

$s_n = n\frac{(a_1 + a_n)}{2}$ Je to jako (počet členů) * (průměr každého)

Důsledek součet 1....n

$s_n = n\frac{1 + n}{2}$

Geometrická posloupnost

Kde $a_1$ je první člen a $r$ je konstantní poměr. $a_i = a_1*r_{i-1}$

$s_n = a_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} = a_1\frac{(1 - q^n)}{1 - q}$

Úroky

Klient banky si uloží částku ve výši $a$ korun českých s ročním úrokem p procent. Po uplynutí jednoho roku bude tedy zůstatek na účtu roven

(1 - \frac{p}{100})*a

Na konci n-tého roku bude potom zůstatek $a_n$ roven $(1 - \frac{p}{100})^n*a$ . Posloupnost $a_n$ tedy vyjadřuje vývoj stavu konta na konci jednotlivých let.

Další známé posloupnosti

Collatzova posloupnost, Lucasova posloupnost, Posloupnost Mersennových čísel