Limita funkce

@andrea@andrea

Pojem limita se dá dobře intuitivně pochopit. Tato matematická pomůcka nám vyjadřuje, že funkce blíží nějakému konkrétnímu číslu. Právě toto číslo je pak označováno jako limita. Pro práci v diferenciálním a integrálním počtu ji, ale potřebujeme také umět exaktně popsat.

Limitou funkce zkoumáme chování a průběh funkce, když se její nezávislá proměnná blíží nějakému konkrétnímu číslu. Definice limity posloupnosti a funkce se podobají, nicméně hlavním rozdílem mezi nimi je, jakou část můžeme zkoumat. U poslouhostí jsme omezeni jen na index členů posloupnosti, když se blíží nekonečnu.

Zaměřeno na bod

Zjišťujeme chování funkce v okolí bodu aa. Funkční hodnota limity funkce f v bodě a závisí pouze na chování na okolí bodu a mimo bod a.

V definici se nikde f(a)f(a) neobjevuje, nemusí být v bodě definovaná. Předpokládáme, že funkce ff je definovaná na tomto okolí bodu aa s možnou výjimkou bodu aa samotného. Limita funkce má spojitý argument a probíhá podmnožinu ℝ.

Definice limity

Často používaná definice, je zásadní pro rigorózní pochopení limit a prokázání existence limit v různých důkazech.

Definice pomocí okolí bodu

Řekneme, že c ∈ ℝ* je limitou funkce f v bodě a ⇔ (Uc)(Ua)(xDf)(xUaaf(x)Uc)(∀U_c)(∃U_a)(∀x ∈ D_f)(x ∈ U_a-{a} ⇒ f(x) ∈ U_c)

Známá ε-δ definice

Touto definicí se snažíme říct, že funkce f(x)f(x) má v bodě LL limitu cc, jestliže k libovolnému ε>0ε > 0 existuje takové δ>0δ > 0, že pro všechna xx z δ-okolí bodu LL, s vyjímkou bodu LL je

f(x)c<ε|f(x) − c| < ε

V této definici, ale ještě rozlišujeme tzv. vlastní a nevlastní body. Vlastním bodem je myšleno, když LL i cc jsou prvky ℝ reálné číslo, nevlastním pak ∞ či -∞. Stejně tak říkáme, že limita je vlastní, pokud se jedná o reálné číslo a nevlastní, pokud je hodnota limity ∞ či -∞.

Pro vlastní limitu limxLf(x)=c\lim\limits_{x \to L} f(x) = c je pak celá definice

(ε>0)(δ>0)(xDf)(0<xL<δf(x)c<ε)(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D_f)(0 < |x−L| < δ ⇒ |f(x) − c| < ε)

Limita součtu, podíl a součinu

Mějme f:ARf: A\to ℝ a g:BRg: B\toℝ funkce a bod aAa ∈ A. Potom platí: limxa(f(x)±g(x))=limxaf(x)±limxag(x)\lim\limits_{x \to a} (f(x) ± g(x)) = \lim\limits_{x \to a}f(x) ± \lim\limits_{x \to a}g(x)

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)limxag(x)\lim\limits_{x \to a} f(x)·g(x) = \lim\limits_{x \to a}f(x)·\lim\limits_{x \to a}g(x)

limxaf(x)g(x)=limaf(x)limag(x)\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim\limits_{a}f(x)}{\lim\limits_{a}g(x)}

Věta o limitě složené funkce

Nechť f a g jsou funkce, a, b, c jsou prvky ℝ* a platí tři postačující podmínky

limxbf(x)=c\lim\limits_{x \to b} f(x) = c

limxag(x)=b\lim\limits_{x \to a} g(x) = b

(Ha)(xDgHaa)(g(x)!=b)nebo(bDfaf(b)=c)(∃Ha)(∀x ∈ D_g ∩ H_a-{a})(g(x) != b) nebo (b ∈ D_f a f(b) = c)

Potom limxaf(g(x))=c\lim\limits_{x \to a} f(g(x)) = c

Poznámka k 3. bodu: funkční hodnota vnitřní funkce musí být v DfD_f a vnější musí být spojitá v bodě cc.

Příklad, plynoucí z věty o limitě složené funkci

Buď P(x)P(x) libovolný polynom a aRa ∈ ℝ. Potom limxaP(x)=P(a)\lim\limits_{x \to a} P(x) = P(a). Tzn. Pouze dosadíme za x vlastní limitu.

limx1e1(x1)2\lim\limits_{x \to 1} e^{-\frac{-1}{(x-1)^2}}.

  1. Označíme f(x)=exf(x) = e^x a g(x)=1(x1)2g(x) = -\frac{-1}{(x-1)^2}
  2. limx1=1(x1)2=\lim\limits_{x \to 1} = -\frac{-1}{(x-1)^2} = - \infty
  3. limx=ex=0\lim\limits_{x \to -\infty} = e^x = 0

Dále např. pro H1(1)H_1(1) = platí g(x)!=g(x) != -∞ pro všechna x ∈ H_1\{1}. Tedy první možnost v 3. předpokladu je splněna. Díky větě o limitě složené funkci dostáváme výsledek.

Nerovnosti a limity

Nechť existují limity limxaf(x)\lim\limits_{x \to a} f(x) a limxag(x)\lim\limits_{x \to a} g(x). Pak platí dvě tvrzení:

  1. Pokud limxaf(x)<limxag(x)\lim\limits_{x \to a} f(x) < \lim\limits_{x \to a} g(x), potom Ha∃H_a a takové, že pro všechna xHaax ∈ H_a-{a} platí f(x)<g(x)f(x) < g(x).

  2. Pokud existuje okolí HaH_a bodu a takové, že pro všechna xHaax∈H_a∖{a} je f(x)g(x)f(x)≤g(x), potom limxaf(x)limxag(x)\lim\limits_{x \to a} f(x) ≤ \lim\limits_{x \to a} g(x)

Věta o limitě sevřené funkce

Nechť pro funkce f,g,hf, g, h a body a,cRa, c ∈ ℝ* platí: