Pojem limita se dá dobře intuitivně pochopit. Tato matematická pomůcka nám vyjadřuje, že funkce blíží nějakému konkrétnímu číslu. Právě toto číslo je pak označováno jako limita. Pro práci v diferenciálním a integrálním počtu ji, ale potřebujeme také umět exaktně popsat.
Limitou funkce zkoumáme chování a průběh funkce, když se její nezávislá proměnná blíží nějakému konkrétnímu číslu. Definice limity posloupnosti a funkce se podobají, nicméně hlavním rozdílem mezi nimi je, jakou část můžeme zkoumat. U poslouhostí jsme omezeni jen na index členů posloupnosti, když se blíží nekonečnu.
Zaměřeno na bod
Zjišťujeme chování funkce v okolí bodu . Funkční hodnota limity funkce f v bodě a závisí pouze na chování na okolí bodu a mimo bod a.
V definici se nikde neobjevuje, nemusí být v bodě definovaná. Předpokládáme, že funkce je definovaná na tomto okolí bodu s možnou výjimkou bodu samotného. Limita funkce má spojitý argument a probíhá podmnožinu ℝ.
Definice limity
Často používaná definice, je zásadní pro rigorózní pochopení limit a prokázání existence limit v různých důkazech.
Definice pomocí okolí bodu
Řekneme, že c ∈ ℝ* je limitou funkce f v bodě a ⇔
Známá ε-δ definice
Touto definicí se snažíme říct, že funkce má v bodě limitu , jestliže k libovolnému existuje takové , že pro všechna z δ-okolí bodu , s vyjímkou bodu je
V této definici, ale ještě rozlišujeme tzv. vlastní a nevlastní body. Vlastním bodem je myšleno, když i jsou prvky ℝ reálné číslo, nevlastním pak ∞ či -∞. Stejně tak říkáme, že limita je vlastní, pokud se jedná o reálné číslo a nevlastní, pokud je hodnota limity ∞ či -∞.
Pro vlastní limitu je pak celá definice
Limita součtu, podíl a součinu
Mějme a funkce a bod . Potom platí:
Věta o limitě složené funkce
Nechť f a g jsou funkce, a, b, c jsou prvky ℝ* a platí tři postačující podmínky
Potom
Poznámka k 3. bodu: funkční hodnota vnitřní funkce musí být v a vnější musí být spojitá v bodě .
Příklad, plynoucí z věty o limitě složené funkci
Buď libovolný polynom a . Potom . Tzn. Pouze dosadíme za x vlastní limitu.
.
- Označíme a
Dále např. pro = platí pro všechna x ∈ H_1\{1}. Tedy první možnost v 3. předpokladu je splněna. Díky větě o limitě složené funkci dostáváme výsledek.
Nerovnosti a limity
Nechť existují limity a . Pak platí dvě tvrzení:
-
Pokud , potom a takové, že pro všechna platí .
-
Pokud existuje okolí bodu a takové, že pro všechna je , potom
Věta o limitě sevřené funkce
Nechť pro funkce a body platí:
- existuje okolí Ha bodu a takové, že pro každé platí ,
- existují . Potom existuje i limita a je rovna c.