Exponenciální fukce můžeme chápat jako zobrazení, které každému $x ∈ ℝ$ přiřadí součet řady $$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + … + \frac{x^k}{k!}.$$
Obecná mocnina
Pro $a∈(0,+∞)$ $a^x ∈ R$ definujeme $$a^x:=e^{x\ln{a}}.$$
Vlastnosti
Exponenciální funkce $x ↦ e^x$ je rostoucí a tedy i prostá.
Operace s exponenciální funkcí
Základ na nultou
e0 = 1
$$e^0 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{0^k}{k!} = 1 + 0 + … 0 = 1.$$
Násobení exponenciálních funkcí
S pomocí násobení dvou absolutně konvergentních číselných řad dokazujeme vztah $e^{x+y} = e^xe^y$
\begin{align*} e^xe^y &= (\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!})(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{y^l}{l!}) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k} \frac{y^l}{l!}\frac{y^{k-l}}{(k-l)!} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \sum_{l=0}^{k} {k \choose l} x^{l}y^{k-l} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x + y)^k}{k!} \\ &= e^{x+y} \\ \end{align*}
Násobení exponenciálních funkcí o obecném základu
$a^{x+y} = a^xa^y$ $$a^{x+y} = e^{(x+y)\ln{a}} = e^{x\ln{a} + y\ln{a}} = e^{x\ln{a}}e^{y\ln{a}} = a^xa^y$$
Exponent na exponent
$a^{y+x} = a^{yx}$ $$a^{y·\ln{e^x}} = a^{y\ln{e^{ x\ln{a} }}} = e^{y·x\ln{a}} = a^{yx} = a^{xy}$$
Exponent součtu
$(ab)^x = a^x·b^x$
$$(ab)^x = e^{x·\ln{(ab)}} = e^{x(\ln{a}+\ln{b})} = e^{x·\ln{a}}e^{x·\ln{b}} = a^x·b^x$$