Exponenciální fukce můžeme chápat jako zobrazení, které každému x∈R přiřadí součet řady
ex=∑k=0∞k!xk=1+1!x+2!x2+…+k!xk.
Obecná mocnina
Pro a∈(0,+∞) ax∈R definujeme
ax:=exlna.
Vlastnosti
Exponenciální funkce x↦ex je rostoucí a tedy i prostá.
Operace s exponenciální funkcí
Základ na nultou
e_0 = 1
e0=∑k=0∞k!0k=1+0+…0=1.
Násobení exponenciálních funkcí
S pomocí násobení dvou absolutně konvergentních číselných řad dokazujeme vztah ex+y=exey
exey=(k=0∑∞k!xk)(l=0∑∞l!yl)=k=0∑∞l=0∑kl!yl(k−l)!yk−l=k=0∑∞k!1l=0∑k(lk)xlyk−l=k=0∑∞k!(x+y)k=ex+y Násobení exponenciálních funkcí o obecném základu
ax+y=axay
ax+y=e(x+y)lna=exlna+ylna=exlnaeylna=axay
Exponent na exponent
ay+x=ayx
ay⋅lnex=aylnexlna=ey⋅xlna=ayx=axy
Exponent součtu
(ab)x=ax⋅bx
(ab)x=ex⋅ln(ab)=ex(lna+lnb)=ex⋅lnaex⋅lnb=ax⋅bx