Přirozená exponenciální funkce

@andrea@andrea

Exponenciální fukce můžeme chápat jako zobrazení, které každému x∈Rx ∈ ℝ přiřadí součet řady

ex=∑k=0∞xkk!=1+x1!+x22!+…+xkk!.e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + … + \frac{x^k}{k!}.

Obecná mocnina

Pro a∈(0,+∞)a∈(0,+∞) ax∈Ra^x ∈ R definujeme ax:=exln⁡a.a^x:=e^{x\ln{a}}.

Vlastnosti

Exponenciální funkce x↦exx ↦ e^x je rostoucí a tedy i prostá.

Operace s exponenciální funkcí

Základ na nultou

e_0 = 1

e0=∑k=0∞0kk!=1+0+…0=1.e^0 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{0^k}{k!} = 1 + 0 + … 0 = 1.

Násobení exponenciálních funkcí

S pomocí násobení dvou absolutně konvergentních číselných řad dokazujeme vztah ex+y=exeye^{x+y} = e^xe^y

exey=(∑k=0∞xkk!)(∑l=0∞yll!)=∑k=0∞∑l=0kyll!yk−l(k−l)!=∑k=0∞1k!∑l=0k(kl)xlyk−l=∑k=0∞(x+y)kk!=ex+y\begin{align*} e^xe^y &= (\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!})(\sum_{l=0}^{\infty} \frac{y^l}{l!}) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k} \frac{y^l}{l!}\frac{y^{k-l}}{(k-l)!} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} \sum_{l=0}^{k} {k \choose l} x^{l}y^{k-l} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x + y)^k}{k!} \\ &= e^{x+y} \\ \end{align*}

Násobení exponenciálních funkcí o obecném základu

ax+y=axaya^{x+y} = a^xa^y ax+y=e(x+y)ln⁡a=exln⁡a+yln⁡a=exln⁡aeyln⁡a=axaya^{x+y} = e^{(x+y)\ln{a}} = e^{x\ln{a} + y\ln{a}} = e^{x\ln{a}}e^{y\ln{a}} = a^xa^y

Exponent na exponent

ay+x=ayxa^{y+x} = a^{yx} ay⋅ln⁡ex=ayln⁡exln⁡a=ey⋅xln⁡a=ayx=axya^{y·\ln{e^x}} = a^{y\ln{e^{ x\ln{a} }}} = e^{y·x\ln{a}} = a^{yx} = a^{xy}

Exponent součtu

(ab)x=ax⋅bx(ab)^x = a^x·b^x

(ab)x=ex⋅ln⁡(ab)=ex(ln⁡a+ln⁡b)=ex⋅ln⁡aex⋅ln⁡b=ax⋅bx(ab)^x = e^{x·\ln{(ab)}} = e^{x(\ln{a}+\ln{b})} = e^{x·\ln{a}}e^{x·\ln{b}} = a^x·b^x