Naučte se

Mocninné

#Definice

Mocninná funkce má neznámou $x$ na místě základu, $x\inℝ$. Tato funkce $f$ má předpis $$f(x)=x^n, \quad n\inℤ,n≠0$$

$$n \in 2ℝ$$
$$n=0$$
$$n=1$$
$$n \in 2ℝ + 1$$

#Graf funkce

Graf mocninné funkce se liší v závislosti na exponentu. Pokud je přirozené sudé či liché číslo, pak se liší hodnoty na intervalu (−∞, 0].

Funkce $f(x)=x^n$, kde $n$ je sudé má definiční obor ℝ, $H_f =[0,∞)$. Je to sudá funkce, klesající na intervalu (−∞, 0] a rostoucí na intervalu [0, ∞). Není to však funkce prostá. Pokud funkci f budeme uvažovat jen na intervalu [0, ∞), pak je tato nová funkce prostá a existuje k ní inverzní funkce.

Funkce $f(x)=x^n$, kde $n$ je liché má definiční obor ℝ, obor hodnot je taky ℝ. Je to lichá funkce a je rostoucí na $H_f$ a tedy je prostá a existuje k ní funkce inverzní.

#Mocninná funkce se záporným celým exponentem

Nechť n ∈ ℕ. $$f(x)=x^{-n}, \quad n\inℝ,n≠0$$

Inverzní funkce k mocninné

Funkci n-tá odmocnina (n ∈ ℕ, n ≥ 2) definujeme:

  • pro n sudé je funkcí inverzní k funkci $\sqrt[n]{x}, x ∈ [0,∞)$,
  • pro n liché jako funkci inverzní k funkci $\sqrt[n]{x}, x ∈ ℝ$.

Shrnutí

Sudé Liché
D(f)
H(f) <0;∞)
Monotonnost funkce Neni ani rostoucí, ani klesající.
Klesající na intervalu (-∞, 0>, rostoucí na intervalu <0, ∞)
Rostoucí
Sudá. Není prostá. Omezená zdola Lichá. Je prostá. Není omezená
Limita $\lim\limits_{x \to -∞} x^2 = +∞ $
$\lim\limits_{x \to +∞} x^2 = +∞ $
$\lim\limits_{x \to 0} x^2 = 0 $
$\lim\limits_{x \to -∞} x^3 = -∞ $
$\lim\limits_{x \to +∞} x^3 = +∞ $
$\lim\limits_{x \to 0} x^3 = 0 $

Související