Limita odmocniny

Druhá odmocnina

Pro druhou $\sqrt{n}$ odmocninu $a ∈ ⟨0, +∞) ∪ \{+∞\}$ platí

$\lim\limits_{n \to a} \sqrt{n} = \sqrt{a}$.

Řešení pro případ $a = 0$

Mějme $U_0(ε)$ libovolné okolí bodu 0. Je-li $x ∈ U_0(δ) ∩ D_{\sqrt{x}} = ⟨0, δ)$ nenulové, pak podmínka $\sqrt{x} < ε$ je ekvivalentní podmínce $x < ε^2$. Stačí proto volit $δ := ε^2$.

Řešení pro případ $a = ∞$

$\lim\limits_{x \to +∞} \sqrt{x} = +∞$

Případ $c ≤ 0$ je triviální. Pokud $c > 0$ pak pro libovolné kladné x je podmínka $\sqrt{x} > c$ ekvivalentní podmínce $x > c^2$. Pro každé $x ∈ U_{+∞}(c^2)$ tedy platí $\sqrt{x}∈ U_{+∞}(c)$.

Prozkoumejme nyní případ $a ∈ (0, +∞)$. Mějme $ε > 0$ a hledejme k němu $δ > 0$ tak, aby platila implikace

$|x−a|<δ ⇒ |\sqrt{x}−\sqrt{a}|<ε$.

Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $δ < a/2$, pak pro každé $x ∈ U_a(δ)$ platí $x > a/2$. Potom pro $x ∈ U_a(δ)$ platí

$|\sqrt{x}−\sqrt{a}| = \frac{ |x− a| }{ \sqrt{x}−\sqrt{a} } < \frac{δ}{a/2+\sqrt{a}} = c·δ$

kde $c = 1$ je kladná konstanta. Vidíme, že zvolíme-li $δ < a/2$ a současně $δ < ε/c$, skutečně pro $x∈U_a(δ)$ platí $|x− a|<ε$.

V případě k té odmocniny můžeme postupovat naprosto analogicky. Jen argumentace bude algebraicky náročnější, protože budeme muset použít známý algebraický vzorec

$x^k−y^k = (x-y)\sum_{j=0}^{k-1} x^{k-1+j}y^{j}, x,y \in ℝ$

N-tá odmocnina

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

Řešení

Položme $h_n := \sqrt{n} − 1$. Z jedné strany platí $h_n ≥ 0$ pro každé $n = 1,2,3,...$. Z binomické věty dostaneme pro $n ≥ 2$

$n = (1+h_n)^n = \binom{n}{1}h_n^k > 1 + \binom{n}{1}h_n^2$ a tedy pro n ≥ 2 platí

$n-1 ≥ \frac{n(n-1}{2}h^2_n$

Pro $n ≥ 2$ je výraz $\frac{n(n−1)}{2}$ kladný a můžeme jím proto poslední nerovnost vydělit a díky nezápornosti $h_n$ poté i odmocnit. Po těchto úpravách dostáváme

$0≤h_n≤ \frac{2}{n}$

N-tá odmocnina z konstanty

$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{c} = 1$