Matice si můžeme představit jako tabulku čísel.
Při definici určujeme taky velikost tabulky
.
Tedy nechť m, n ∈ ℕ. Uspořádáný soubor m·n čísel zapsaný do tabulky o m řádcích a n sloupcích nazýváme matice typu m × n. Podle tvaru matice, pak můžeme rozlišovat čtvercovou matici, jinak obdélníkovou matici.
Množinu všech matic typu m x n, která obsahuje prvky reálných čísel značíme Rmxn.
Matice potkáme hojně v lineární algebře, kde se často využívají ke kompaktnějšímu zápisu soustav lineárních rovnic. Také jsou užitečnou strukturou pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice.
Prvek matice
Bude se nám jistě hodit funkce pro získání hodnoty prvku matice na pozici (i,j), tj. v i-tém řádku a j-tém sloupci. Značíme ji nebo . Jako 𝔸:j ∈ ℝm,1 značíme j-tý sloupec, podobně 𝔸i: ∈ ℝ1,n značí i-tý řádek matice 𝔸.
Vektor
(Aritmetický) vektor si můžem představit jako matici, která má jeden sloupec a m řádků.
Rovnost
Dvě matice považujeme zatotožné a říkáme, že se rovnají, jestliže mají stejný typ a jestliže jejich prvky na odpovídajících místech jsou stejné.
Operace s maticemi
Pro matice je možné rozumným způsobem definovat sčítání a násobení.
Sčítání dvou matic
Je definováno po elementech (po složkách). Je nutné, aby obě matice měly stejný počet řádků a sloupců, jinak sčítání není možné. Pro dvě matice m x n provádíme mn nezávislých sčítání dvou čísel.
Scítání matic tvoří grupu. Vlastnosti:
- Komutativní: 𝔸 + 𝔹 = 𝔹 + 𝔸
- Asociativní: 𝔸 + (𝔹 + 𝔻) = (𝔸 + 𝔹) + 𝔻
- Neutrální prvek: nulová matice.
Násobení matice číslem
Je také definováno po složkách. Tedy každý element matice vynásobíme odpovídajícím číslem. Pro matice m x n provádíme mn nezávislých násobení dvou reálných čísel.
Násobení dvou matic
Zde se situace malinko komplikuje, nenapočítáváme čísla složkách. Dalším omezením je, že první matice musí být stejně široká jako druhá je vysoká.
Definice:
Buďte m, n, p ∈ ℕ a matice 𝔸 ∈ ℝm,n a 𝔹 ∈ ℝn,p
Součinem matic 𝔸 a 𝔹 je matice 𝔸𝔹 ∈ ℝm,p pro kterou platí:
Pokud máme násobíme regulární čtvercové matice, dostáváme grupu.
Jednotková matice (neutrální prvek)
Mějme čtvercovou matici 𝔼 ∈ Tn,n splnujňující 𝔼ij = δij, i, j ∈ {1,..., n}. Jednotková matice, slouží jako neutrální prvek. Kdykoli někde narazíme na neutrální prvek k nějaké operaci, ihned jeho prostřednictvím definujeme prvky inverzní.
δ - Kroneckerovo delta.