Matice

Matice si můžeme představit jako tabulku čísel. Při definici určujeme taky velikost tabulky. Tedy nechť m, n ∈ ℕ. Uspořádáný soubor m·n čísel zapsaný do tabulky o m řádcích a n sloupcích nazýváme matice typu m × n. Podle tvaru matice, pak můžeme rozlišovat čtvercovou matici, jinak obdélníkovou matici.

𝔸 = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{1n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

Množinu všech matic typu m x n, která obsahuje prvky reálných čísel značíme R^mxn.

Matice potkáme hojně v lineární algebře, kde se často využívají ke kompaktnějšímu zápisu soustav lineárních rovnic. Také jsou užitečnou strukturou pro vyjádření obecné rotace vektorů, transformace vektorů od jedné báze k bázi jiné, či k vyjádření operátorů v kvantové mechanice.

Prvek matice

Bude se nám jistě hodit funkce pro získání hodnoty prvku matice na pozici (i,j), tj. v i-tém řádku a j-tém sloupci. Značíme ji $a_{ij}$ nebo $𝔸_{ij}$ . Jako 𝔸_:j ∈ ℝ^m,1 značíme j-tý sloupec, podobně 𝔸^i: ∈ ℝ^1,n značí i-tý řádek matice 𝔸.

Vektor

(Aritmetický) vektor si můžem představit jako matici, která má jeden sloupec a m řádků.

Rovnost

Dvě matice považujeme zatotožné a říkáme, že se rovnají, jestliže mají stejný typ a jestliže jejich prvky na odpovídajících místech jsou stejné.

Operace s maticemi

Pro matice je možné rozumným způsobem definovat sčítání a násobení.

Sčítání dvou matic

Je definováno po elementech (po složkách). Je nutné, aby obě matice měly stejný počet řádků a sloupců, jinak sčítání není možné. Pro dvě matice m x n provádíme mn nezávislých sčítání dvou čísel.

𝔸 + 𝔹 = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{12} + b_{11} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots& \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}

Scítání matic tvoří grupu. Vlastnosti:

Komutativní: 𝔸 + 𝔹 = 𝔹 + 𝔸
Asociativní: 𝔸 + (𝔹 + 𝔻) = (𝔸 + 𝔹) + 𝔻
Neutrální prvek: nulová matice.

Násobení matice číslem

Je také definováno po složkách. Tedy každý element matice vynásobíme odpovídajícím číslem. Pro matice m x n provádíme mn nezávislých násobení dvou reálných čísel.

α𝔸 = \begin{pmatrix} α\cdot a_{11} & \cdots & α\cdot a_{1n}\\ α\cdot a_{12} & \cdots & α\cdot a_{2n} \\ \vdots& \ddots & \vdots \\ α\cdot a_{m1} & \cdots & α\cdot a_{mn} \end{pmatrix}

Násobení dvou matic

Zde se situace malinko komplikuje, nenapočítáváme čísla složkách. Dalším omezením je, že první matice musí být stejně široká jako druhá je vysoká.

Definice:

Buďte m, n, p ∈ ℕ a matice 𝔸 ∈ ℝ^m,n a 𝔹 ∈ ℝ^n,p

Součinem matic 𝔸 a 𝔹 je matice 𝔸𝔹 ∈ ℝ^m,p pro kterou platí:

∀i ∈ \{1,..., m\}, ∀j ∈ \{1,..., p\}: (𝔸𝔹)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} 𝔸_{ik}·𝔹_{kj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}·b_{kj}

Pokud máme násobíme regulární čtvercové matice, dostáváme grupu.

Jednotková matice (neutrální prvek)

Mějme čtvercovou matici 𝔼 ∈ T^n,n splnujňující 𝔼_ij = δ_ij, i, j ∈ {1,..., n}. Jednotková matice, slouží jako neutrální prvek. Kdykoli někde narazíme na neutrální prvek k nějaké operaci, ihned jeho prostřednictvím definujeme prvky inverzní.

δ - Kroneckerovo delta.