Frobeniova věta

@andrea@andrea

Frobeniova věta byla pojmenována po německém matematikovi Ferdinadu Frobeniovi (1849-1917), který ji formuloval v 19. století. Tato věta dává do souvislosti řešení soustav lineárních rovnic a koncept hodnosti.

Když máme soustavu m lineárních rovnic s n neznámými, můžeme tyto rovnice ekvivalentně převést na rozšířenou matici soustavy 𝔸𝕩=𝕓𝔸𝕩 = 𝕓, kde 𝔸∈Tm,n𝔸 ∈ T^{m,n}

V tomto článku pak pod slovem soustava označujeme rozšířenou matici soustavy 𝔸, tak i na případnou původní soustavu lineárních rovnic. Jde o to, že je obvyklejší určovat hodnost u matic, nikoli soustavy lineární rovnice. Avšak jako hodnost soustavy lineárních rovnic chápejte jako počet nezávislých rovnic, které lze z nich vytvořit.

Frobeniova věta nám pak říká, že tato soustava

𝔸𝕩=𝕓maˊ rˇesˇenıˊ⟺h(𝔸)=h(𝔸∣𝕓)𝔸𝕩 = 𝕓 \quad \text{má řešení} ⟺ h(𝔸) = h(𝔸|𝕓)

A pak dále, když řešení existuje a určíme si jeho hodnost třeba h(𝔸)=kh(𝔸) = k, potom dokážeme odvodit jak je tato množina velká. Množina řešení S0S_0 má dimenzi n − kn − k tak, že

{θ,pokud n = k,⟨z1,…,zn−k⟩,pokud k < n\begin{cases} {θ}, \quad \text{pokud n = k,} \\ \langle z_1, … , z_{n−k} \rangle, \quad \text{pokud k < n}\\ \end{cases}

Tedy lidsky řečeno, u lineárních rovnic může nastat pouze jedna ze tří možností:

  1. Soustava má jedno řešení. Řešení existuje právě jedno právě tehdy, když platí h(𝔸|𝕓) = h(𝔸) = n
  2. V případě, že výsledná hodnost soustavy je menší než n, má soustava nekonečně mnoho řešení.
  3. Soustava nemá žádné řešení, když platí h(𝔸)≠h(𝔸∣𝕓)h(𝔸) ≠ h(𝔸|𝕓).

Já je podoba řešení?

Popišme si podobu řešení S=x~+S0S = x̃ + S_0, kde x̃ je tzv. partikulární řešení a S0 je řešení homogení soustavy