Proč se učit lineární algebru

Lineární algebra poskytuje širokou škálu nástrojů pro řešení matematických problémů v mnoha různých oborech. To zní až moc obecně, ale je to tak 😅. Výčet konkrétních oblastí by byl nesmírně dlouhý, proto si několik aplikací z IT nechápe až na konec článku. Není divu, že se lineární algebra vyučuje skoro na všech technických, ekonomických a matematických školách. Často ji studenti nazývají jen "lingebra".

Umět řešit lineární rovnici se považuje za základní znalost, která se učí již na základní škole. Naučili jsme se takřka mechanicky řešit několika algebraickými postupy soustavy lineárních rovnic. Příjemná vlastnost soustav lineárních rovnic je jejich řešitelnost.
Nicméně i když se během kariery potkáme s mnoha technickými problémy, které nejsou soustavami lineárních rovnic řešitelné. Řadu těchto problémů můžeme aproximovat soustavou lineárních rovnic.

V lineární algebře pracujeme predevším s dvěma objekty, kterými jsou vektory a matice.

Kde lineární algebru uplatníme.

Kde všude se vrámci informatiky potkáme s lineární algebrou? Aplikovaná lineární algebra se využívá např. v přírodních vědách, sociálních vědách (hlavně ekonomii a sociologii), fyzice nebo archeologii.

Analýza dat, zpracování dat a big data

Vstupní data reálných problémů jsou často v maticové formě. Umět pracovat s maticemi a rozuměti jim je zásadní schopnost i z ryze praktického hlediska.

• Lineární regrese a multi-lineární regrese jsou metody statistické analýzy, které se často používají k predikci hodnot na základě historických dat. Tyto metody využívají soustavy lineárních rovnic pro určení nejlepších odhadů parametrů.
• Redukce dimenzí v datové analýze. Metody jako jsou Principal Component Analysis (PCA) a Singular Value Decomposition (SVD) používají lineární algebru k transformaci dat tak, aby se snížil počet proměnných a zlepšila se interpretovatelnost dat.
• Lineární klasifikace, jako je například logistická regrese. Rozdělení dat do různých tříd na základě lineárního rozdělení.

Strojové učení

• Neuronové sítě, které jsou často používány v strojovém učení a umělé inteligenci, jsou tvořeny maticemi a vektory. Maticové a vektorové operace se používají při práci s neuronovými sítěmi.
• Lineární regrese je jedna z nejzákladnějších metod statistiky a znalostního inženýrství. Představuje aproximaci daných hodnot přímkou.
• Nejobvyklejší výpočetní metoda spojená s lineární regresí je metoda nejmenších čtverců.

Ekonomie

• Lineární algebra je klíčová pro ekonometrické modely, jako jsou například lineární regrese, multivariate regrese a modelování panelových dat.
• Soustavy lineárních rovnic se hodí pro určení optimálního poměru mezi různými investicemi v investečních portfoliích.
• Matice potkáte při zkoumání grafů, dat ve statistice a při zkoumání makroekonomických jevů jako jsou například inflace, růst a zaměstnanost a dalších.

Grafika a počítačové vidění

Protože na řadu problémů v linární algebře můžeme nahlížet současně algebraitsky i geometicky. Kdykoliv máte obraz, který je sestavený z bodů, useček a geometrických objektů najdete v lineární algebře efektivní metodu na řešení geometrických problémů.

• Transformace geometrických objektů. Metody jako jsou otočení, posuny a změna 3D do 2D jsou vlastně lineární transformace a tedy násobení bodů vhodnou matici ^1.
• Iluminace se dají simulovat pomocí vektorových a maticových operací.
• Zpracování obrazu v počítačovém vidění. Metody jako jsou filtrace, změna velikosti a změna kontrastu se dají provést pomocí lineární algebra.
• Vyhledávání objektu se dá provést pomocí matice korespondence, která se dá vytvořit pomocí lineární algebra.
• Komprese obrazu ve formátu jpeg: každá vrstva je rozdělená na díly o rozměru 8 × 8. Namísto kódování intenzity 64 jednotlivých bodů se obraz celého dílu složí jako lineární kombinace 64 diskrétních harmonických funkcí nad mřížkou 8 × 8 bodů, což je princip tzv. diskrétní kosinové Fourierovy transformace.

Hardware

• Samoopravné kódy - kódy pro korekci chyb a slouží k přenosu informace bez ztráty. Lineární kódy se často používají v komunikačních systémech, v digitálních signálech nebo v datových souborech.

Vyhledávače

• Latentní semantická analýza (LSA): Lineární algebra se používá k analýze významu textu. LSA se dá provést pomocí matice term-dokument, kde se dají najít podobnosti mezi dokumenty a tématy.
• PageRank využívá vlastní čísla, a posuzuje důležitost webových stránek na základě odkazů z jiných stránek na tuto stránku. Algoritmus se používá v rámci vyhledávačů, jako je Google, kde se používá k řazení výsledků vyhledávání.