Vektorový prostor

Vektorový prostor je množina vektorů, která splňuje několik algebrických vlastností. Základní prvek vektorového prostoru je vektor a musí mít definované sčítání a násobení vektorů a skalárů, které jsou asociativní a distributivní.

Vektorový prostor V tedy musí být tělesem. Další algebrická vlastnost je existence neutrálního prvku pro sčítání. Tuto vlastnost splňuje právě nulový vektor.

V matematice se používá především v lineární algebře, kde se s ním pracuje při řešení soustav lineárních rovnic nebo s vlastními číslama. Vektorový prostor je také důležitý v analýze signálu, matematické fyzice a kvantové mechanice.

V IT se využívá ve strojovém učení, či k reprezentaci dat, například pro klasifikaci nebo regresi. V grafice se vektorový prostor používá k reprezentaci barev a tvarů. V ekonometrii se vektorový prostor používá k analýze dat a modelování.

Nulový vektor

Nulový vektor označujme ho θ.

Tento speciální vektor musí splnit vlastnost, že pro každý vektor v vektorovém prostoru platí:

0 + v = v
k ⊙ 0 = 0 (k je skalár)

Máme jediný nulový vektor

Ve vektorovém prostoru existuje právě jeden nulový vektor (∃ θ ∈ V).

Proveďme důkaz sporem. Předpokladem, že existují dva různé nulové vektory θ₁ a θ₂. Jenže po aplikování algebraitských prav dostaneme:

• θ₁ = 0 ⊙ a = θ₂
• a zároveň máme předpoklad θ₁ ≠ θ₂

Násobení nulového vektoru se skalárem

Když nulový vektor vynásobíme jakýmkoliv skalárem, tak dostaneme zpět nulový vektor. Pro všechna čísla z tělesa ověřujeme platnost následujících výrazů pro binární operace Důkaz tvrzení: ∀α ∈ T: α ⊙ θ = θ

• α ⊙ θ
• = α ⊙ (0 ⊙ a)
• = (α0) ⊙ a
• = 0 ⊙ a
• = θ

Existence neutrálního prvku pro sčítání.

Když k vektoru v přičteme nulový vektor, tak zůstává tento vektor vždy stejný.

Důkaz tvrzení: ∀a ∈ V: a + θ = a

• a ⊕ θ = a ⊕ (0 ⊙ a)
• = (1 ⊙ a) ⊕ (0 ⊙ a)
• = (1 + 0) ⊙ a
• = 1 ⊙ a
• = a

Každý vektor v tělese má inverzi

Ve vektorovém prostoru existuje inverzní prvek, který je opět vektor, takže pro každý vektor v lze najít vektor -v, který splňuje vlastnost v + (-v) = 0.

Důkaz tvrzení: (∀a ∈ V)(∃₁b ∈ V) a + b = θ

Důkaz (existence): Tzn. definujeme opačný vektor jako a = (-1)b

• a ⊕ b
• = a ⊕ (-1)⊙a
• = (1⊙a)⊕((-1)⊙a)
• = (1+(-1)) ⊙ a
• = 0 ⊙ a
• = θ

Důkaz (jednoznačnost, sporem): b₁, b₂ jsou opačné vektory k a.

• b₁
• = b₁ ⊕ θ
• = b₁ ⊕ (a ⊕ b₂)
• = (b₁ ⊕ a) ⊕ b₂
• = (a ⊕ b₁) ⊕ b₂
• = θ ⊕ b₂
• = b₂ ⊕ θ
• = b₂

Pokud ve výpočtu dostanu nulový vektor

Když dostanu jako výsledek nulový vektor θ, pak buď skalár α musí být nulový nebo vektor a musí být jednotkový vektor θ.

Důkaz tvrzení: (∀α ∈ T)(∀a ∈ V) (α ⊙ a = θ ⇒ (α = 0 ∨ a = θ)).Tedy α ⊙ x = θ a α ≠ 0 chceme x = θ

• a = 1 ⊙ a
• = (α^-1α) ⊙ a
• = α^-1 ⊙ (α ⊙ a)
• = α^-1 ⊙ θ
• = θ

Příklad vektorových prostorů

Nejjednodušší prostor, který obsahuje pouze θ se nazývá triviální prostor.

Další množina všech polynomů s definicemi sčítání a násobení skalárem podle tvoří lineární prostor.

• (Tⁿ,T, +, ·). množina vektorů
• (T^m,n,T, +, ·). množina matic