Vektorový podprostor je množina vektorů, která splňuje dva základní požadavky: musí být podmnožinou množiny všech vektorů a musí splňovat vlastnosti, které jsou pro vektory charakteristické (např. součet a násobení skalárem). Například množina všech lineárně závislých vektorů je vektorovým podprostorem množiny všech vektorů v daném prostoru. Vektorový podprostor má také svůj vlastní koordinační systém, který lze použít k popisu jeho prvků.
Vektorový podprostor
Značíme: P ⊂⊂ V, Explicitně: (V, P, +|p, ·|p)
DEFINICE: Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T a nechť P ⊆ V (P jakákoliv množina). P je podprostor prostoru V, právě když platí:
1. | {} ≠ P | není prázdná množina | |
2. | ∀ x, y ∈ P | x + y ∈ P | P + P ⊆ P |
3. | ∀α ∈ T, ∀x ∈ P | αx ∈ P | T·P ⊆ P |
Důsledky
P ⊂⊂ V ⟹ θ ∈ P
Vlastní podprostor
P ⊂⊂ V, pro který platí P ≠ V, nazýváme vlastním podprostorem. Každý podprostor se dá napsat jako lineární obal různých řešení. Vlastnost být podprostrem je tranzitivní. Když máme velký prostor a malý podprostor, tak prostřední prostor bude taky podprostor.
VĚTA: P ≠ => (∃ x ∈ P) (0 ∈ T) 0x = θ Každý VP musí obsahovat nulový prvek, z definice VP axiom7. Pomocí nulového prvku, ověříme neprázdnost a axiom A7.
Pro následující věty mějme P, Q ⊂⊂ V.
Věta o sjednocení vektorových prostorů
P ∪ Q není podprostor.
DŮKAZ (protipříklad):
{(x,y) ∈ ℝ<sup>2</sup> | x = 0 ∨ y = 0}
při sečtení vypadneme z množiny
Věta o průniku vektorových prostorů
P ∩ Q je podprostor.
Důkaz
θ je v P i Q, tudíž je i v průniku. uzavřenost na ⊕, ⊙... každá z množin je uzavřená na součet i součin.
Věta o součtu vektorových prostorů
P + Q je podprostor.
DŮKAZ: θ je v P i Q. θ + θ = θ,...