Vektorový podprostor

Vektorový podprostor je množina vektorů, která splňuje dva základní požadavky: musí být podmnožinou množiny všech vektorů a musí splňovat vlastnosti, které jsou pro vektory charakteristické (např. součet a násobení skalárem). Například množina všech lineárně závislých vektorů je vektorovým podprostorem množiny všech vektorů v daném prostoru. Vektorový podprostor má také svůj vlastní koordinační systém, který lze použít k popisu jeho prvků.

Vektorový podprostor

Značíme: P ⊂⊂ V, Explicitně: (V, P, +|_p, ·|_p)

DEFINICE: Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T a nechť P ⊆ V (P jakákoliv množina). P je podprostor prostoru V, právě když platí:

Důsledky

P ⊂⊂ V ⟹ θ ∈ P

Vlastní podprostor

P ⊂⊂ V, pro který platí P ≠ V, nazýváme vlastním podprostorem. Každý podprostor se dá napsat jako lineární obal různých řešení. Vlastnost být podprostrem je tranzitivní. Když máme velký prostor a malý podprostor, tak prostřední prostor bude taky podprostor.

VĚTA: P ≠ => (∃ x ∈ P) (0 ∈ T) 0x = θ Každý VP musí obsahovat nulový prvek, z definice VP axiom7. Pomocí nulového prvku, ověříme neprázdnost a axiom A7.

Pro následující věty mějme P, Q ⊂⊂ V.

Věta o sjednocení vektorových prostorů

P ∪ Q není podprostor.

DŮKAZ (protipříklad):

{(x,y) ∈ ℝ<sup>2</sup> | x = 0 ∨ y = 0}

při sečtení vypadneme z množiny

Věta o průniku vektorových prostorů

P ∩ Q je podprostor.

Důkaz

θ je v P i Q, tudíž je i v průniku. uzavřenost na ⊕, ⊙... každá z množin je uzavřená na součet i součin.

Věta o součtu vektorových prostorů

P + Q je podprostor.

DŮKAZ: θ je v P i Q. θ + θ = θ,...