Hodnost matice

Hodnost matice je pojem z lineární algebry, který popisuje počet nezávislých řádků nebo sloupců v matici. Je důležitý pro určení řešitelnosti soustavy lineárních rovnic, která má tuto matici jako koeficienty.

Hodnost matice 𝔸 se obvykle označuje jako rank(𝔸) nebo h(𝔸).

Definice

Nechť 𝔸 ∈ T^m,n. Hodností matice 𝔸 nazýváme dimenzi lineárního obalu souboru řádků matice 𝔸 (jako vektorů z T^1,n) a značíme ji h(𝔸). Tedy: h(𝔸) = dim⟨𝔸_1:, ... , 𝔸_m:⟩.

Počet řešení

Z Frobeniovy věty víme poučku, že počet hodnost matice 𝔸 rovna počtu řádků, pak to znamená, že všechny řádky matice jsou nezávislé a tedy soustava lineárních rovnic, která má tuto matici jako koeficienty, má jedno řešení. Pokud hodnost matice A je menší než počet řádků, pak má soustava lineárních rovnic má nekonečně mnoho řešení.

Věta o transponované matici

Hodnost transponované matice je stejná jako hodnost původní matice.

Mohli jsme stejně definovat hodnost jako dimenzi lineárního obalu souboru spoupců matice 𝔸. Důsledkem je pak $h(𝔸) ≤ min(m, n)$.