Polynom

@andrea@andrea

Definice

Polynomem je každé zobrazení P: ℝ → ℝ, pro které existují nN0n ∈ ℕ_0 a α0, … , αn ∈ ℝ taková, že
P(x)=i=0nαixiP(x) = \sum_{i=0}^{n} α_i·x^i

DEFINICE: Komplexním polynomem je každé zobrazení P: ℂ → ℂ, pro které existují n ∈ ℕ0 a α0, … , αn ∈ ℂ taková, že
P(x)=i=0nαixiP(x) = \sum_{i=0}^{n} α_i·x^i

Čísla α0,α1,,αnα_0, α_1, … , α_n nazýváme koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu

Stupeň nulového polynomu (všechny koeficienty αi = 0) definujeme −1.

Stupeň nula mají všechny nenulové konstantní polynomy, tj. polynomy s předpisem p(x)=α<sub>0</sub>Cp(x) = α<sub>0</sub> ∈ ℂ Ostatní jako st(p)=maxjN<sub>0</sub>:α<sub>j</sub>!=0st(p) = max{j ∈ ℕ<sub>0</sub> : α<sub>j</sub> != 0}.

Názvosloví

Základní věta algebry

VĚTA: Každý polynom s komplexními koeficienty stupně alespoň 1 má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jean-Robert Arganda z roku 1806.

VĚTA: Každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

Když se podíváme na graf tak lichý reálný polynom je prostá funkce... a graf protíná někde osu x počátkem

VĚTA: Každý polynom lze faktorizovat "rozložit na kořenový součin".

Niels Abel mimo jiné pomocí teorie grup dokázal, že nelze pro obecný polynom stupně vyššího než 4 najít vzorec na výpočet jeho kořenů z jeho koeficientů.

Zajimavosti z algebry

Součet dvou polynomů je polynom a skalární násobek polynomu je také polynom, jsou tedy uzavřeny na obě operace. Množina PP všech polynomů s operací sčítání a násobení skalárem tvoří vektorový prostor.