Polynom

Definice

Polynomem je každé zobrazení P: ℝ → ℝ, pro které existují $n ∈ ℕ_0$ a α₀, … , α_n ∈ ℝ taková, že
$P(x) = \sum_{i=0}^{n} α_i·x^i$

DEFINICE: Komplexním polynomem je každé zobrazení P: ℂ → ℂ, pro které existují n ∈ ℕ₀ a α₀, … , α_n ∈ ℂ taková, že
$P(x) = \sum_{i=0}^{n} α_i·x^i$

Čísla $α_0, α_1, … , α_n$ nazýváme koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu

Stupeň nulového polynomu (všechny koeficienty α_i = 0) definujeme −1.

Stupeň nula mají všechny nenulové konstantní polynomy, tj. polynomy s předpisem $p(x) = α₀ ∈ ℂ$ Ostatní jako $st(p) = max{j ∈ ℕ₀ : α_j != 0}$.

• nulový polynom
• konstantní polynom
• lineární polynom
• kvadratický polynom
• kubický polynom
• bikvadratický polynom

Základní věta algebry

VĚTA: Každý polynom s komplexními koeficienty stupně alespoň 1 má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jean-Robert Arganda z roku 1806.

• p má nejvýše n různých kořenů. Označíme-li je λ₁, … , λ_k, existují jednoznačně určená čísla n₁, … , n_k ∈ N
• Má-li p pouze reálné koeficienty, pak pro každé λ ∈ C platí: Je-li λ kořen p, pak i λ je kořenem p a oba mají stejnou násobnost.
• Každý polynom s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen.
• ... dodělat

VĚTA: Každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

Když se podíváme na graf tak lichý reálný polynom je prostá funkce... a graf protíná někde osu x počátkem

VĚTA: Každý polynom lze faktorizovat "rozložit na kořenový součin".

Niels Abel mimo jiné pomocí teorie grup dokázal, že nelze pro obecný polynom stupně vyššího než 4 najít vzorec na výpočet jeho kořenů z jeho koeficientů.

Zajimavosti z algebry

Součet dvou polynomů je polynom a skalární násobek polynomu je také polynom, jsou tedy uzavřeny na obě operace. Množina $P$ všech polynomů s operací sčítání a násobení skalárem tvoří vektorový prostor.