Naučte se

Polynom

DEFINICE: Polynomem je každé zobrazení P: ℝ → ℝ, pro které existují n ∈ ℕ0 a α0, … , αn ∈ ℝ taková, že
$P(x) = \sum_{i=0}^{n} α_i·x^i$

DEFINICE: Komplexním polynomem je každé zobrazení P: ℂ → ℂ, pro které existují n ∈ ℕ0 a α0, … , αn ∈ ℂ taková, že
$P(x) = \sum_{i=0}^{n} α_i·x^i$

Čísla α0, α1, … , αn nazýváme koeficienty polynomu.

Stupeň polynomu

Stupeň nulového polynomu (všechny koeficienty αi = 0) definujeme −1.
Stupeň nula mají všechny nenulové konstantní polynomy, tj. polynomy s předpisem p(x) = α0 ∈ ℂ
Ostatní jako st(p) = max{j ∈ ℕ0 : αj != 0}.

Názvosloví
  1. nulový polynom
  2. konstantní polynom
  3. lineární polynom
  4. kvadratický polynom
  5. kubický polynom
  6. bikvadratický polynom

Základní věta algebry

VĚTA: Každý polynom s komplexními koeficienty stupně alespoň 1 má alespoň jeden komplexní kořen.

Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jean-Robert Arganda z roku 1806

  1. p má nejvýše n různých kořenů. Označíme-li je λ1, … , λk, existují jednoznačně určená čísla n1, … , nk ∈ N
  2. Má-li p pouze reálné koeficienty, pak pro každé λ ∈ C platí: Je-li λ kořen p, pak i λ je kořenem p a oba mají stejnou násobnost.
  3. Každý polynom s reálnými koeficienty lichého stupně má alespoň jeden reálný kořen.
  4. ... dodělat

VĚTA: Každý polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň jeden reálný kořen.

Když se podíváme na graf tak lichý reálný polynom je prostá funkce... a graf protíná někde osu x počátkem

VĚTA: Každý polynom lze faktorizovat "rozložit na kořenový součin".

Niels Abel mimo jiné pomocí teorie grup dokázal, že nelze pro obecný polynom stupně vyššího než 4 najít vzorec na výpočet jeho kořenů z jeho koeficientů.

Lineární prostor

(P, P, ⊕, ⊗) Množina P všech polynomů s definicemi sčítání a násobení skalárem podle tvoří vektorový prostor.

Součet dvou polynomů je polynom a skalární násobek polynomu je polynom, takže platí, že + : P × P → P a · : R × P → P.

Související