Jistě z aritmetiky znáte operace plus, mínus, krát a děleno. Tyhle však můžeme redukovat na 2 operace. Pokud si představíme operaci odčítání jako přičítání opačného prvku a operaci děleno jako násobení inverzním číslem.
K čemu je grupa?
- Jde o matematickou struktury u kterých chceme mít operaci, kterou se můžeme vracet zpět do původního stavu. Nebo-li chceme revertovat.
- Grupu můžeme hápat jako minimální strukturu, ve které má lineární rovnice o jedné neznámé vždy řešení, které je navíc určeno jednoznačně.
- Grupa je důležitá v kryptografii, protože jde o nejobecnější algebraická struktura, ve které lze definovat problém diskrétního logaritmu.
Definice
Uspořádaná dvojice (G, ♡),
kde G je množina a operace ♡ : G × G → G, splňuje tyto vlastnosti:
- ∀ a, b: a, b ∈ G ⇒ a ♡ b ∈ G, Uzavřenost operace
- ∀ a, b, c ∈ G: (a ♡ b) ♡ c = a ♡ (b ♡ c), Asociativita
- ∀ a ∈ G, ∃ b ∈ G, a ♡ b = e, Inverze e
- ∀ c: x ♡ e = e ♡ x = x, Neutrální prvek e
Neutrální prvek e existuje právě jeden. Předpokládejme, že máme k dispozici další prvek e′ ∈ G mající stejné vlastnosti jako e. Potom e=e·e' =e'.
Pokud navíc pro každé a, b ∈ G platí rovnost a ♡ b = b ♡ a, potom grupu G nazýváme abelovskou (nebo komutativní). Grupa G je konečná, má-li množina G konečný počet prvků. Počet prvků konečné grupy G nazýváme řádem grupy G a značíme ho symbolem #G.
Příklady grup
Konečná grupa | Nekonečná grupa | |
---|---|---|
Abelovská grupa | ℤn (celá čísla modulo) a operace plus | (ℤ,+), (ℚ,+), (ℝ,+), (ℂ,+) |
Neabelovská grupa | Grupa symetrie, n > 2 | Regulární matice s operací + Regulární Matice s operací · |
Celá čísla ℤ, racionální ℚ, reálná ℝ čísla s operací sčítání + jsou abelovská grupa.
(2 - 3) + 4 -- 5 2 - (3 + 4) -- 5 0 + 100 -- 100
-
Pro (ℤ,+) platí asociativní i komutativní zákon, neutrálním prvkem je 0 a inverze k prvku b je b−1=−b, součet dvou celých čísel je celé číslo.
-
V grupě (ℝ\0,·) můžeme zavést operaci ”dělení“ jako násobení inverzním prvkem a/b:=a·b−1.
-
Pro dvojici (Mreg,·) platí asociativní zákon, neutrální prvek i inverze existují (kA∈Mreg máme inverzní matici A−1), ale neplatí komutativní zákon! Jednáse tedy o grupu, nikoli ovšem vždy abelovskou.