Grupa

Jistě z aritmetiky znáte operace plus, mínus, krát a děleno. Tyhle však můžeme redukovat na 2 operace. Pokud si představíme operaci odčítání jako přičítání opačného prvku a operaci děleno jako násobení inverzním číslem.

K čemu je grupa?

Jde o matematickou struktury u kterých chceme mít operaci, kterou se můžeme vracet zpět do původního stavu. Nebo-li chceme revertovat.
Grupu můžeme hápat jako minimální strukturu, ve které má lineární rovnice o jedné neznámé vždy řešení, které je navíc určeno jednoznačně.
Grupa je důležitá v kryptografii, protože jde o nejobecnější algebraická struktura, ve které lze definovat problém diskrétního logaritmu.

Definice

Uspořádaná dvojice (G, ♡),
kde G je množina a operace ♡ : G × G → G, splňuje tyto vlastnosti:

∀ a, b: a, b ∈ G ⇒ a ♡ b ∈ G, Uzavřenost operace
∀ a, b, c ∈ G: (a ♡ b) ♡ c = a ♡ (b ♡ c), Asociativita
∀ a ∈ G, ∃ b ∈ G, a ♡ b = e, Inverze e
∀ c: x ♡ e = e ♡ x = x, Neutrální prvek e

Neutrální prvek e existuje právě jeden. Předpokládejme, že máme k dispozici další prvek e′ ∈ G mající stejné vlastnosti jako e. Potom e=e·e' =e'.

Pokud navíc pro každé a, b ∈ G platí rovnost a ♡ b = b ♡ a, potom grupu G nazýváme abelovskou (nebo komutativní). Grupa G je konečná, má-li množina G konečný počet prvků. Počet prvků konečné grupy G nazýváme řádem grupy G a značíme ho symbolem #G.

Příklady grup

	Konečná grupa	Nekonečná grupa
Abelovská grupa	ℤ_n (celá čísla modulo) a operace plus	(ℤ,+), (ℚ,+), (ℝ,+), (ℂ,+)
Neabelovská grupa	Grupa symetrie, n > 2	Regulární matice s operací + Regulární Matice s operací ·

Celá čísla ℤ, racionální ℚ, reálná ℝ čísla s operací sčítání + jsou abelovská grupa.

(2 - 3) + 4 -- 5
2 - (3 + 4) -- 5
0 + 100 -- 100

Pro (ℤ,+) platí asociativní i komutativní zákon, neutrálním prvkem je 0 a inverze k prvku b je b⁻¹=−b, součet dvou celých čísel je celé číslo.
V grupě (ℝ\0,·) můžeme zavést operaci ”dělení“ jako násobení inverzním prvkem a/b:=a·b⁻¹.
Pro dvojici (M_reg,·) platí asociativní zákon, neutrální prvek i inverze existují (kA∈Mreg máme inverzní matici A⁻¹), ale neplatí komutativní zákon! Jednáse tedy o grupu, nikoli ovšem vždy abelovskou.