Grupa

@andrea@andrea

Jistě z aritmetiky znáte operace plus, mínus, krát a děleno. Tyhle však můžeme redukovat na 2 operace. Pokud si představíme operaci odčítání jako přičítání opačného prvku a operaci děleno jako násobení inverzním číslem.

K čemu je grupa?

Definice

Uspořádaná dvojice (G, ♡),
kde G je množina a operace ♡ : G × G → G, splňuje tyto vlastnosti:

  • ∀ a, b: a, b ∈ G ⇒ a ♡ b ∈ G, Uzavřenost operace
  • ∀ a, b, c ∈ G: (a ♡ b) ♡ c = a ♡ (b ♡ c), Asociativita
  • ∀ a ∈ G, ∃ b ∈ G, a ♡ b = e, Inverze e
  • ∀ c: x ♡ e = e ♡ x = x, Neutrální prvek e

Neutrální prvek e existuje právě jeden. Předpokládejme, že máme k dispozici další prvek e′ ∈ G mající stejné vlastnosti jako e. Potom e=e·e' =e'.

Pokud navíc pro každé a, b ∈ G platí rovnost a ♡ b = b ♡ a, potom grupu G nazýváme abelovskou (nebo komutativní). Grupa G je konečná, má-li množina G konečný počet prvků. Počet prvků konečné grupy G nazýváme řádem grupy G a značíme ho symbolem #G.

Příklady grup

Konečná grupaNekonečná grupa
Abelovská grupan (celá čísla modulo) a operace plus(ℤ,+), (ℚ,+), (ℝ,+), (ℂ,+)
Neabelovská grupaGrupa symetrie, n > 2Regulární matice s operací +
Regulární Matice s operací ·

Celá čísla ℤ, racionální ℚ, reálná ℝ čísla s operací sčítání + jsou abelovská grupa.

(2 - 3) + 4 -- 5 2 - (3 + 4) -- 5 0 + 100 -- 100