Regularní matice

Regulární matice je matice, která má invertibilní matici. Dále pro regulární matici platí, že determinant matice je různý od nuly.

Definice

Mějme čtvercovou matici 𝔸 ∈ T^n,n. Existuje-li matice taková, že platí 𝔸𝔸^-1 = 𝔼 nebo 𝔸^-1𝔸 = 𝔼, matici 𝔸 nazýváme regulární a 𝔸^-1 inverzní matici.

Pokud 𝔸 není regulární, nazýváme matici A singulární. Regulární totiž znamená nenulový. Determinant regulární matice není roven nule. Regulární matice mají maximální možnou hodnost.

Inverze

Pro regulární matici existuje inverzní matice $𝔸^{-1}$, která splňuje $𝔸*𝔸^{-1} = 𝔼$ (identitní matice), kde 𝔼 je jednotková matice. Inverze existuje právě jedna.

Výpočet inverzní matice

Inverzní matice se počítá tak, že se k dané matici přidá jednotková matice stejné velikosti. Poté se pomocí algebraitských úprav (např. GEM) snažíme z matice 𝔸 „vytvořit“ matici jednotkovou.

Tedy zjednodušený algoritmus funguje zhruba takhle

Další vlastnost regulární matice

S čím vším je ekvivalentní regularita čtvercové matice.

• soubor řádků matice 𝔸 je lineárně nezávislý.
• hodnost matice je maximální h(𝔸) = n
• 𝔸 ~ 𝔼

Důsledek: násobením regulární maticí se hodnost nezmění. Tedy je-li 𝔸 ∈ T^m,n libovolná a P ∈ T^m,nregulární, platí h(𝔸) = h(P𝔸). Důkaz: Víme, že 𝔸 ~ P𝔸. Stačí využít toho, že GEM nemění hodnost matice.

Operace

VĚTA: součin 2 čtvercových regulárních matic je matice regulární. Důkaz, že $(𝔸𝔹)*(𝔹^{-1}𝔸^{-1}) = ... = 𝔼$

• (𝔹^-1𝔸^-1)*(𝔸𝔹)
• = 𝔹^-1(𝔸^-1𝔸)𝔹
• = 𝔹^-1(𝔼𝔹)
• = 𝔹^-1𝔹
• = 𝔼𝔹