Maticový zápis soustavy lineárních rovnic je způsob, jakým lze zapsat soustavu lineárních rovnic jako matice.
Obecně se soustava lineárních rovnic zapisuje ve tvaru 𝔸𝕩 = 𝕓 (zapisujeme 𝔸 |𝕓).
Tato rovnice se skládá s několika komponent
- Matice soustavy: matice 𝔸 , pro kterou platí m, n ∈ ℕ, 𝔸 ∈ Tm,n
- Vektor neznámých: vektor 𝕩 ∈ Tn,1 , kde
- Vektor pravých stran: vektor 𝕓 ∈ ℝm,1, kde
Je-li 𝕓 = θ ∈ ℝm mluvíme o homogenní soustavě. Soustava 𝔸𝕩 = θ je přidruženou homogenní soustavou lineárních rovnic k soustavě 𝔸𝕩 = 𝕓. Množinu všech řešení značíme S (pro nehomogenní) nebo S0 (pro homogenní).
Věty
Je-li 𝕩 ∈ S0 a α ∈ ℝ, je také α𝕩 ∈ S0. 𝕩 ∈ S0 -> 𝔸𝕩=θ -> 𝔸(α𝕩)=α(𝔸𝕩)=αθ.
Je-li 𝕩, y ∈ S0, je také 𝕩 + y ∈ S0. 𝔸𝕩=θ, 𝔸y=θ -> 𝔸(𝕩+y) = 𝔸𝕩 + 𝔸y = θ + θ = θ
Je-li 𝕩, y ∈ S, je 𝕩 − y ∈ S0. 𝔸𝕩=b, 𝔸y=b -> 𝔸(𝕩-y) = 𝔸𝕩 - 𝔸y = b - b = θ
𝕩 ∈ S, potom pro každý vektor y ∈ S existuje nějaký vektor z ∈ S0 tak, že y = 𝕩 + z z = y - 𝕩
𝕩 ∈ S, pro každé z ∈ S0 platí 𝕩 + z ∈ S 𝔸(𝕩+z) = 𝔸𝕩 + 𝔸z = = b + θ = b
VĚTA: S = 𝕩 + S_0
Důkaz plyne z body (4.) a (5.)
Horní stupňovitý tvar matice SLR
Nechť pro matici soustavy Ax = b platí následující:
- Existuje , právě pro všechna
- Označme pro každé .
Je-li soustava v horním stupňovitém tvaru, říkáme sloupcům s indexy hlavní sloupce, ostatním říkáme vedlejší sloupce.
Věty
Je-li poslední sloupec matice (𝔸 | 𝕓)
- hlavní, soustava nemá řešení.
- jediný vedlejší sloupec, má soustava právě jedno řešení.
- vedlejší a existuje-li ještě jiný vedlejší sloupec, má soustava více než jedno řešení.