Maticový zápis soustavy lineárních rovnic

Maticový zápis soustavy lineárních rovnic je způsob, jakým lze zapsat soustavu lineárních rovnic jako matice.

Obecně se soustava lineárních rovnic zapisuje ve tvaru 𝔸𝕩 = 𝕓 (zapisujeme 𝔸 |𝕓).

Tato rovnice se skládá s několika komponent

• Matice soustavy: matice 𝔸 , pro kterou platí m, n ∈ ℕ, 𝔸 ∈ T^m,n
• Vektor neznámých: vektor 𝕩 ∈ T^n,1 , kde $𝕩^T = (x_1, x_2, …, x_n)$
• Vektor pravých stran: vektor 𝕓 ∈ ℝ^m,1, kde $b^T =(b_1, b_2, …, b_m)$

Je-li 𝕓 = θ ∈ ℝ^m mluvíme o homogenní soustavě. Soustava 𝔸𝕩 = θ je přidruženou homogenní soustavou lineárních rovnic k soustavě 𝔸𝕩 = 𝕓. Množinu všech řešení značíme S (pro nehomogenní) nebo S₀ (pro homogenní).

Věty

Je-li 𝕩 ∈ S₀ a α ∈ ℝ, je také α𝕩 ∈ S₀. 𝕩 ∈ S₀ -> 𝔸𝕩=θ -> 𝔸(α𝕩)=α(𝔸𝕩)=αθ.

Je-li 𝕩, y ∈ S₀, je také 𝕩 + y ∈ S₀. 𝔸𝕩=θ, 𝔸y=θ -> 𝔸(𝕩+y) = 𝔸𝕩 + 𝔸y = θ + θ = θ

Je-li 𝕩, y ∈ S, je 𝕩 − y ∈ S₀. 𝔸𝕩=b, 𝔸y=b -> 𝔸(𝕩-y) = 𝔸𝕩 - 𝔸y = b - b = θ

𝕩 ∈ S, potom pro každý vektor y ∈ S existuje nějaký vektor z ∈ S₀ tak, že y = 𝕩 + z z = y - 𝕩

𝕩 ∈ S, pro každé z ∈ S₀ platí 𝕩 + z ∈ S 𝔸(𝕩+z) = 𝔸𝕩 + 𝔸z = = b + θ = b

VĚTA: S = 𝕩 + S_0

Důkaz plyne z body (4.) a (5.)

Horní stupňovitý tvar matice SLR

Nechť pro matici soustavy Ax = b platí následující:

• $𝔸 ∈ R^{m,n}$
• Existuje $k ∈ {1, . . . , m}$, právě pro všechna $i ∈ {k + 1, ... m}$
• Označme pro každé $j ∈ \{1, 2 ... , k\} j_i = min{l ∈ \{1, . . . , n + 1\} | (𝔸 | 𝕓)_{jl} != 0}$.

Je-li soustava v horním stupňovitém tvaru, říkáme sloupcům s indexy $j_1, j_2, ..., j_k$ hlavní sloupce, ostatním říkáme vedlejší sloupce.

Věty

Je-li poslední sloupec matice (𝔸 | 𝕓)

• hlavní, soustava nemá řešení.
• jediný vedlejší sloupec, má soustava právě jedno řešení.
• vedlejší a existuje-li ještě jiný vedlejší sloupec, má soustava více než jedno řešení.