@andreaStručná definice
DEFINICE: Uspořádaná trojice (M, ♡, ○), kde M je množina a 2 operace ♡: M × M → M, ⊕: M × M → M, které mají následující vlastnosti:
Komplexnější definice
- (M, +) je komutativní grupa. Neutrální prvek této grupy je 0.
- (M \ 0, ♡) je komutativní grupa. Jednotkový prvek této grupy je 1.
- Distributivní zákon: a ♡ (b ⊕ c) = a ♡ b ⊕ a ♡ c.
Využití
Jedním z nejznámějších těles je těles jsou reálná čísla a komplexní čísla. Těleso reálných čísel má jednotkový prvek 1 a jednotkový prvek 0. Operace sčítání a násobení jsou komutativní, asociativní a distribuční.
Vektorový prostor
Umožňují definovat a řešit různé typy algebraických struktur, jako je například vektory, matice nebo polynomy.
| 1. | ∀u, v ∈ V: | u ⊕ v = v ⊕ u | komutativní zákon |
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b) | |||
| 2. | ∀u, v, w ∈ V: | (u ⊕ v) ⊕ w = u ⊕ (v ⊕ w) | asociativní zákon sčítání |
| ((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (e, f) = (a + c, b + d) ⊕ (e, f) = ((a + c) + e, (b + d) + f) = (a + (c + e), b + (d + f)) = (a, b) ⊕ (c + e, d + f) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (e, f)) | |||
| 3. | ∀u ∈ V; ∀α, β ∈ T: | α ⊙ (β ⊙ u) = (αβ) ⊙ u | asociativní zákon násobení |
| α ⊙ (β ⊙ (a, b)) = α ⊙ (β·a, β·b) = (α (β·a), α (β·b)) = ((α·β) a, (α·β) b) = (α·β) ⊙ (a, b) | |||
| 4. | ∀u, v ∈ V; ∀α ∈ T: | α ⊙ (u ⊕ v) = (α ⊙ u) ⊕ (α ⊙ v) | distributivní zákon pro sčítání vektorů |
| α ⊙ ((a,b) ⊕ (c,d)) = α ⊙ (a+c, b+d) = α(a+c), α(b+d) = (αa+αc, αb+αd) = (αa, αb) ⊕ (αc, αd) = (α ⊙ (a, b)) ⊕ (α ⊙(c, d)) | |||
| 5. | ∀u ∈ V; ∀α, β ∈ T: | (α + β) ⊙ u = (α ⊙ u) ⊕ (β ⊙ u) | distributivní zákon pro sčítání skalárů |
| α ⊙ (β ⊙ (a, b)) = α ⊙ (β·a, β·b) = (α (β·a), α (β·b)) = ((α·β) a, (α·β) b) = (α·β) ⊙ (a, b) | |||
| 6. | ∀u ∈ V: | 1 ⊙ u = u | vlastnost neutrálního prvku |
| 1 ⊙ (a, b) = (1a, 1b) = (a, b) | |||
| 7. | ∃θ ∈ V, ∀u ∈ V: | 0 ⊙ u = θ | existence nulového prvku |
| 0 ⊙ (a, b) = (0a, 0b) = (0, 0) | |||