Limita posloupnosti

@andrea@andrea

Limitou se snažíme exaktně vyjádřit vlastnost blížit se někam. Praktickou otázka týkající se posloupnosti je její chování pro velké indexy nn, které běží do nekonečna. Co tím myslíme?

Posloupnost buď limitu nemá, nebo ji má a její hodnota je pak dána jednoznačně. Žádná posloupnost nemůže mít dvě různé limity.

Definice limit

V literatuře limita definuje dvěma způsoby. Jeden který má různý vzorec pro vlastní a nevlastní limitu, podle toho jestli je hodnota nekonečno, nebo reálné číslo. Druhý způsob je pomocí hromadného bodu.

Myšlenka v definici je taková, že hledáme index n0∈Nn_0 ∈ ℕ od kterého, se všichni následující členové posloupnosti blíží nějaké hodnotě, kterou nazýváme limitu.

Buď (an)n=1∞(a_n)_{n=1}^\infty posloupnost, pak její limitu zapíšeme jako:

Vlastní limita a nevlastní limita

V této definici rozlišujeme případ, když je limitou reálné číslo a kdy nekonečno. V případě, že limita α∈Rα \in ℝ, pak se nazývá vlastní limita a definice je následující:

(∀ε∈R,ε>0)(∃n0∈N)(∀n∈N)(n>n0⇒∣an−α∣<ε)(∀ε ∈ ℝ, ε > 0)(∃n_0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ)(n > n_0 ⇒ |a_n − α| < ε)

Nevlastní limita, u které je α=+∞α = +∞ má tvar:

(∀c∈R)(∃n0∈N)(∀n∈N)(n>n0⇒an>c)(∀c ∈ ℝ)(∃n_0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ)(n > n_0 ⇒ a_n > c)

Definice pomocí hromadného bodu

Podle této definice, reálná posloupnost má limitu b∈R∗b ∈ ℝ^* z rozšířené reálné osy, právě když v každém okolí UαU_α bodu α leží všechny členy posloupnosti s dostatečně velkým indexem n0∈Nn_0 ∈ ℕ, že pro všechna n ∈ ℕ větší, než n0n_0 platí an∈Uαa_n ∈ U_α.

V symbolech (∀Ua)(∃n0∈N)(∀n∈N)(n>n0⇒an∈Ua).(∀U_a)(∃n_0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ)(n > n_0 ⇒ a_n ∈ U_a).

Vlastnosti limit

Konvergence a divergence posloupnosti

Častný požadavek v analýze je, abychom zjistili, zda se členové posloupnosti blíží k nějakému číslu, nebo zda hodnoty rostou či klesají nade všechny meze. Pokud pro její limitu platí lim an∈Ra_n ∈ R, pak se nazývá konvergentní. V ostatních případech ji nazýváme divergentní.

Pro to, aby byla posloupnost divergentní, nás může napadnout úvaha, že stačí když bude každý následující člen větší než předešlý a postupně se vzdalí od sebe do konečněna. Nicméně u posloupnosti an=1−1n an = 1 - \frac{1}{n} kde je každý člen ostře větší než předchozí, je limita rovna 1, tedy konvergentní.

Musíme tedy použít lepší způsob jak ověřit tuhle vlastnost. Pomocí vět o limitách můžeme tuto vlastnost zjistit.

Důležité věty

Při výpočtu limit posloupností často nevyužíváme přímo definici, ale znalost několika základních limit.

Existence limit

Nechť a∈Ra ∈ ℝ. Limita limx→a f(x) existuje a je rovna c ∈ ℝ, právě když existují obě jednostranné limity limx→a+ f(x) a limx→a− f(x) a obě jsou rovny

Součin, podíl limit

lim⁡n→∞(an±bn)=lim⁡n→∞an±lim⁡n→∞bn=a±b\lim\limits_{n \to \infty} (a_n ± b_n) = \lim\limits_{n \to \infty}a_n ± \lim\limits_{n \to \infty}b_n= a ± b

Důkaz (pro ℝ)

(∀ε∈R,ε>0)(∃n0∈N)(∀n∈N)(n>n0⇒∣(an+bn)−(a+b)∣<ε)(∀ε ∈ ℝ, ε > 0)(∃n_0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ)(n > n_0 ⇒ |(a_n + b_n) - (a+b)| < ε)

∣(an+bn)−(a+b)∣=∣(an−a)+(bn−b)∣≤∣an−a∣+∣bn−b∣<ε/2+ε∣2=ε|(a_n + b_n) - (a + b)| = |(a_n - a) + (b_n - b)| ≤ |a_n-a| + |b_n-b| < ε/2 + ε|2 = ε

lim⁡n→∞an⋅bn=lim⁡n→∞an⋅lim⁡n→∞bn=a⋅b\lim\limits_{n \to \infty} a_n·b_n = \lim\limits_{n \to \infty}a_n·\lim\limits_{n \to \infty}b_n = a·b

lim⁡n→∞c⋅an=c⋅a\lim\limits_{n \to \infty} c·a_n = c·a lim⁡n→∞anbn=ab\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}

pokud je výraz na pravé straně definován.

Příklad, posloupnost harmonických čísel

∑k=1∞1k\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}

  1. postup: Posloupnost je ostře roustoucí, proto její limita musí existovat. Díky podposloupnosti (posloupnosti částečných součtů) určíme její limitu.

  2. postup: Pomocí Bolzano-Cauchyho kriteria.

Věta o nerovnostech limit

VĚTA: Nechť reálné posloupnosti (a_n) a (b_n) mají limity v R*.

Pokud lim⁡n→∞an<lim⁡n→∞bn\lim\limits_{n \to \infty} a_n \lt \lim\limits_{n \to \infty} b_n potom existuje n_0 ∈ ℕ tak, že pro všechna přirozená n > n_0 platí a_n < b_n.

Důsledek: Nechť (a_n) a (b_n) jsou reálné posloupnosti mající limitu v R*. Pokud existuje n_0 takové, že pro všechna přirozená n > n_0 je a_n ≤ b_n, potom lim a_n ≤ lim b_n.

Všimněte si, že neostrost nerovnosti je zde důležitá. Například, pro a_n = 1n\frac{1}{n} a b_n = 0 platí ostrá nerovnost, ale lim a_n = lim b_n = 0.

Důsledek

Věta o sevřené posloupnosti (o 2 policajtech)

Nechť (a_n), (b_n) a (c_n) jsou reálné posloupnosti pro které platí

  1. (∃n_0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ, n > n_0)(a_n ≤ b_n ≤ c_n)
  2. posloupnosti (a_n) a (c_n) mají stejnou limitu α ∈ R.

Potom existuje limita posloupnosti (b_n) a platí lim b_n = α.

Podílové kritérium

Buď (a_n) posloupnost kladných čísel a nechť existuje limita q = lim⁡n→∞an+1an\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}. Potom platí pro

!Pozor, pokud q=1, nevíme nic! Limita může být jakákoliv...

Důkaz bodu 1

Protože q < 1, určitě existuje r splňující q < r < 1. Díky tomu pak i lim⁡n→∞an+1an<r\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt r.

Dle věty o nerovnostech v limitách existuje n_0 ∈ ℕ takové, že nerovnost an+1an<r\frac{a_{n+1}}{a_n} \lt r platí pro všechna n ≥ n_0. Díky nezápornosti členů posloupnosti pak platí nerovnost an+1 < r·a_n, pro libovolné n ≥ n_0. Tudíž pro n ≥ n_0 je 0 ≤ a_n ≤ rn-n_0·an_0.

Protože 0 < r < 1, je limita pravé strany nerovnosti rovna nule.