Naivně jde o souhrn jednoznačně určených a rozlišitelných prvků. Nejčastěji se v matematice setkáváme s množinami, jejichž prvky jsou čísla, n-tice, funkce atd. O těchto prvcích hovoříme jako o prvcích (elements) a nezáleží na jejich pořadí a každý prvek je v množině obsažen jen jednou. Počet prvků množiny není omezen a mohou mít konečně i nekonečně mnoho prvků.
Běžně označujeme množiny velkými písmeny abecedy A, B, …, M, N, …, a jejich prvky malými písmeny.
Teorie množin se dělí na naivní teorii množin a axiomatickou teorii množin, která přesně formuluje vlastnosti množin několika axiomy.
Zadání množiny
Množina je dostatečně určena, jestliže jsme o každém prvku schopni říci, zda do dané množiny patří, nebo ne. Tečky označují pokračování výčtu čísel, které pokračují v pozitivním i negativním směru. Množinu můžeme zadat slovně, ale obvykle je definujeme dvěma základními způsoby:
1) Výčet prvků
Výčtem jednotlivých prvků, oddělených čárkami které jsou uzavřeny ve složených závorkách {}. Často se tento způsob nazývá list comprehance.
- konečné množiny $$A := {3, 4, {π,4}}$$
- nekonečné množiny $$ℕ := {2, 4, 6, …}$$
2) Pomocí pravidla
Množina může být definována sadou pravidel, kdy z některé univerzální množiny (např. číselné množiny) vybíráme prvky splňující určitou podmínku. První určíme nějakou výchozí množinu M (universum) na jehož prvky aplikujeme pravidlo a následkě určíme pravidlo P(x), tedy výrok o x ∈ M.
Tento způsob se nazývá v literatuře set builder, set notation.
Příklady:- Obecně: $$A = \{x ∈ M | P(x)\}$$
- Zápis sudých čísel: $$\{k ∈ ℕ | (∃j∈ℕ)(k=2j)\} = \{2j | j∈ℕ\}$$
Znak | se čte jako takových/splňující. Někdy se místo něj používá : nebo ;.
Podmnožiny
Prvek v množině může být i jiná množina. Množiny do sebe můžeme navzáme vnořovat. Nebo z množiny můžeme taky vyjmout jen určitou část. Vyjádření této akce, máme operator inkluze.
Inkluze ⊆
A nazýváme podmnožinou množiny B.
$$A ⊆ B ≝ {∀x ∈ U; x ∈ A ⇒ x ∈ B}$$
Ostrá inkluze ⊂
A nazýváme vlastní podmnožinou množiny B. $$A ⊂ B ≝ {∀x ∈ U; A ⊆ B ∧ A ≠ B}$$
Vlastnosti podmnožiny: {} ⊆ A: prázdná množina je podmnožina jakékoliv množiny.
Velikost množin
Jako velikost množiny myslíme počet prvků v množině. V kontextu nekonečných množin mluvíme spíše o mnohutnosti, protože některá nekonečna jsou větší než jiná nekonečna. George Cantor zjistíl, že celých čísel je stejně jako sudých a racionálních, ale méně než reálných, respektive množiny mají příslušné mohutnosti. O celé problematice velikost nekonečen si můžete přečíst zde
Nekonečna vedly k zavedení pojmů kardinální číslo nebo ordinální číslo.
Velikost symbolicky vyjadřujeme znaky, tedy velikost množiny A, |A| = n
- Velikost prázdné množiny je nulová $$|\{\}|=0$$
- Velikost množiny přirozených čísel je nekonečná $$|ℕ| = ∞$$
- Pro kartézský součin dvou množin platí $$|A × B| = |A|·|B|$$
Základní množinové operace
Jazyk teorie množin obsahuje jediný binární predikát ∈. Znak „∈ – „náleží" – je odvozen od slova „element" (prvek). Binární množinové operace.
Rovnost množin =
Množiny jsou stejné, tehdy když mají stejné prvky.
$$A = B ≝ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) = \{∀x ∈ U; x ∈ A ⇔ x ∈ B\}$$
Průnik množin ∩
Množina právě všech prvků x, které náleží oběma množinám A i B současně.
$$A ∩ B ≝ \{x ∈ U; x ∈ A ∧ x ∈ B\}$$ WolframAlpha: Intersection[{1,3,5},{1,3,4}]Disjunktní množiny A ∩ B = ∅
Ekvivalentní formule: A ∩ B = A - (A - B)
Sjednocení množin ∪
$$A ∪ B = A + B ≝ {∀x ∈ U; x ∈ A ∨ x ∈ B}$$ WolframAlpha: Union[{1,3,5},{1,3,4}]
Rozdíl množin /
Množina obsahující právě ty prvky x, které leží v množině A a neleží v množině B.
$$A - B = A \ B ≝ {∀x ∈ U; x ∈ A ∧ x ∉ B}$$
Doplněk množiny vzhledem k univerzu M
AM ≝ A' = M \ A ≝ = {∀x ∈ M; x ∉ A}.
Jak se liší množiny a relace?
Identitou. V množině může být prvek a pouze jednou. Platí tedy $$M = {a, b} = {b, a} = {a, b, a}.$$
Všimněte si, že {a, b} je množina shodná s {b, a}, kdežto uspořádané dvojice (x, y) a (y, x) nejsou stejné (obecně). Symbolem A × B označujeme kartézský součin.
Další vlastnosti
Negace inkluze
A - B ≝ ¬(A ⊆ B)
Symetrická diference
A ⊕ B ≝ (A \ B) ∪ (B \ A)
Demorganovy zákony
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
(A ∩ B)' = A' ∪ B'
Uspořádání
Uspořádaná množina není základní množinový pojem. Bývá zadána v jednoduchých závorkách (). Dá se vyjádřit pomocí množin např. (a,b) = {{a}, {a, b}}
Relace je podmnožina kartézského součinu.
Potenční množina
Je množina obsahující všechny podmnožiny množiny (značí se P(X) nebo 2X), včetně {} a celé množiny A.
P(A) ≝ 2A ≝ {X ⊆ U; X ⊆ A}.
Příklad: A = {1,2,3};
P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny.
Počet všech podmnožin množiny $\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = 2^n$.
Princip inkluze a exkluze
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Rozklad na množině
Splňuje následující dvě podmínky
- (podmínka pokrytí)
- = {} (podmínka disjunkce)