Jak již známe z definice množiny, jejich prvky může být cokoliv {pes, lavice, počítač}. Množina je balíček prvků a je svými prvky plně určen. Množiny čísel jsou velmi používané a proto se ukázalo být praktické dostat do povědomí lidí definici několika speciální číselných množin, na které se pak při práci s čísly odkazujeme. Tyto množiny mají dokonce i normu ČSN ISO 80000-2. Na této stránce najdete výčet těchto množiny nebo také oborů s jejich základními algebraitskými vlastnostmi.
#Přirozená čísla, ℕ (Natural number)
ℕ = {1, 2, 3, …}.Nejjednodušší číselnou množinou jsou přirozená čísla. Využívali se k vyjádření počtu jednoduchých objektů (jako je třeba počet jablek, ovcí, …).
Někdy nemusí být z kontextu literatury zřejmé, jestli autor textu mezi přirozené čísla řadí i nulu. Proto je pro lepší pochopení používat značení ℕ+ = {n > 0}, a ℕ0 = {0} ∪ ℕ.
Algebraitské vlastnosti přirozených čísel
Množina přirozených čísel je uzavřená na operacích (+) a (·).
| Sčítání + | Násobení · | |
|---|---|---|
| Uzavřenost | ∀ a, b ∈ ℕ ⇒ a + b ∈ ℕ | ∀ a, b ∈ ℕ ⇒ a · b ∈ ℕ |
| Asociativita | ∀ a, b, c ∈ ℕ: a + (b + c) = (a + b) + c | ∀ a, b, c ∈ ℕ: a · (b · c) = (a · b) · c |
| Neutrální prvek | ∀ a ∈ ℕ: a + 0 = a | ∀ a ∈ ℕ: a · 1 = a |
| Inverzní prvek | ||
| Komutativita | a + b = b + a | a · b = b · a |
| Struktura | komutativní monoid | komutativní monoid |
#Celá čísla, ℤ (Integers)
ℤ = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.Celá čísla se skládajíc z čísel množiny ℕ a také záporných čísel. Označení ℤ vychází z německého zahlen - čísla. Oproti přirozeným číslům jsme schopni s celými čísly zaznamenat přírustek či úbytek. Objevem celých čísel se lidem otevřela možnost jednoduchého účetnictví.
Algebraitské vlastnosti celých čísel
Množina celých čísel je uzavřená na operacích (+) a (·). Navíc díky existenci inverzního prvku u sčítání můžeme s celými číslami provádět i operaci odčítání (–). Operace odčítání je z algebraiského pohledu ve skutečnosti sčítání s opačným prvkem.
Neexistuje inverzní prvek vzhledem k násobení a tak ℤ nejsou uzavřena na dělení. Důkazem, že skutečně nemůžeme dělit nám mohou být celá čísla `13` a `7`, kdy u dělení 13/7 dostáváme racionální číslo, nikoliv celé číslo.
| Sčítání | Násobení | |
|---|---|---|
| Uzavřenost | ∀ a, b ∈ ℤ ⇒ a + b ∈ ℤ | ∀ a, b ∈ ℤ ⇒ a · b ∈ ℤ |
| Asociativita | ∀ a, b, c ∈ ℤ: a + (b + c) = (a + b) + c | ∀ a, b, c ∈ ℤ: a · (b · c) = (a · b) · c |
| Neutrální prvek | ∀ a ∈ ℤ: a + 0 = a | ∀ a ∈ ℤ: a · 1 = a |
| Inverzní prvek | a + (-a) = 0 | |
| Komutativita | a + b = b + a | a · b = b · a |
| Struktura | abelovská grupa | komutativní monoid |
#Racionální čísla, ℚ (Rational number)
ℚ = {p/q|p ∈ ℤ, q ∈ ℕ, nesoudělná}.Využití: Racionalní čísla se dají zapsat jako zlomek a jejich zavedení tedy vyplynulo z počítání se zlomky. Vyjadřují se díky nim snadno počet dílů v celku. Zlomky používali již Egypťané tisíc let před n.l.
Algebraitské vlastnosti racionálních čísel
Stejně jako u celých čísel je množina uzavřená na operacích (+), (–), (·). Malou úpravou můžeme docílit i uzavřenosti na operaci dělení (/), pokud z ℚ vyloučíme číslo 0. Množina ℚ-{0} s operací · je grupou.
| Sčítání | Násobení | |
|---|---|---|
| Uzavřenost | ∀ a, b ∈ ℚ ⇒ a + b ∈ ℚ | ∀ a, b ∈ ℚ ⇒ a · b ∈ ℚ |
| Asociativita | ∀ a, b, c ∈ ℚ: a + (b + c) = (a + b) + c | ∀ a, b, c ∈ ℚ: a · (b · c) = (a · b) · c |
| Neutrální prvek | ∀ a ∈ ℚ: a + 0 = a | ∀ a ∈ ℚ: a · 1 = a |
| Inverzní prvek | a + (-a) = 0 | |
| Komutativita | a + b = b + a | a · b = b · a |
| Struktura | abelovská grupa | komutativní monoid |
Proč nám nestačí racionální čísla?
Racionální čísla a reálná obě splňují vlastnost tělesa. Čím se tedy liší? Použijeme-li geometrického znázornění ℝ jako přímky, pak lze požadovat, aby přímka byla spojitá – jinak řešeno množina reálných čísel neobsahuje díry
. Tento požadavek formulujeme jako tzn. axiom úplnosti.
Každý smršťující se systém uzavřených intervalů, jejichž délky jsou libovolně malé, má neprázdný průnik.
Problém je, že nejde o “pár” čísel, který by šlo doplnit, ale iracionálních čísel je daleko více než racionálních.
Např. délka úhlopříčky ve čtverci o straně délky 1, která jakožto iracionální číslo $\sqrt{2}$ nelze v ℚ vyjádřit.
#Reálná čísla, ℝ (Real number)
Reálné číslo je jakékoliv číslo s libovolným desetiným rozvojem. Jde o množinu, která je sjednocením čísel ℚ a Iracionálních čísel. Využití: reálná čísla definoval Georg Cantor v 19. století.
Algebraitské vlastnosti reálných čísel
Tato množina je uzavřená na operacích (+), (–), (·) a (/).
| Sčítání | Násobení | |
|---|---|---|
| Uzavřenost | ∀ a, b ∈ ℝ ⇒ a + b ∈ ℝ | ∀ a, b ∈ ℝ ⇒ a · b ∈ ℝ |
| Asociativita | ∀ a, b, c ∈ ℝ: a + (b + c) = (a + b) + c | ∀ a, b, c ∈ ℝ: a · (b · c) = (a · b) · c |
| Neutrální prvek | ∀ a ∈ ℝ: a + 0 = a | ∀ a ∈ ℝ: a · 1 = a |
| Inverzní prvek | a + (-a) = 0 | |
| Komutativita | a + b = b + a | a · b = b · a |
| Struktura | abelovská grupa | komutativní monoid |
ℝ*: Rozšířená reálná osa (Extended Real number)
#Komplexní čísla, ℂ (Complex number)
Množinu komplexních čísel definujeme jako ℂ = {a + bi : a, b ∈ ℝ},
kde i značí tzv. imaginární jednotku nebo jen imaginární číslo, číslo s vlastností i2=−1. Koeficienty a,b ∈ R popořadě nazýváme reálnou a imaginární částí z ∈ C a značíme je a=Rez, b=Imz.
Pro dvě komplexní čísla triviálně (s využitím faktu i2 = −1) platí:
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i,
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i .
Komplexní číslo $z = a + bi$ znázorňujeme v tzv. komplexní rovině jako bod o souřadnicích (a, b).
Číslem komplexně sdruženým k z nazveme číslo $\bar{z}$ = a − bi.
$\bar{z}·z = |z|^2 = a^2 + b^2$
Tvoří těleso.
#Iracionální čísla
Nedají se zapsat pomocí zlomku, ani pomocí desetinného zápisu protože mají nekonečný neperiodický rozvoj. Např. číslo π.
Na těchto množinách, které jsou v množinovém vztahu ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, umíme přirozeně sčítat a násobit, přičemž všechny tři množiny jsou vůči těmto operacím uzavřené.