Číselné množiny

Jak již známe z definice množiny, jejich prvky může být cokoliv $\{\text{pes}, \text{lavice}, \text{počítač}\}$ . Množina je balíček prvků a je svými prvky plně určen. Množiny čísel jsou velmi používané a proto se ukázalo být praktické dostat do povědomí lidí definici několika speciální číselných množin, na které se pak při práci s čísly odkazujeme. Tyto množiny mají dokonce i normu ČSN ISO 80000-2. Na této stránce najdete výčet těchto množiny nebo také oborů s jejich základními algebraitskými vlastnostmi.

Přirozená čísla, ℕ (Natural number)

$ℕ = \{1, 2, 3, …\}$ .

Nejjednodušší číselnou množinou jsou přirozená čísla. Využívali se k vyjádření počtu jednoduchých objektů (jako je třeba počet jablek, ovcí, …).

Někdy nemusí být z kontextu literatury zřejmé, jestli autor textu mezi přirozené čísla řadí i nulu. Proto je pro lepší pochopení používat značení $ℕ^+ = \{n > 0\}$ , a $ℕ_0 = {0} ∪ ℕ$ .

Algebraitské vlastnosti přirozených čísel

Množina přirozených čísel je uzavřená na operacích (+) a (·).

	Sčítání +	Násobení ·
Uzavřenost	∀ a, b ∈ ℕ ⇒ a + b ∈ ℕ	∀ a, b ∈ ℕ ⇒ a · b ∈ ℕ
Asociativita	∀ a, b, c ∈ ℕ: a + (b + c) = (a + b) + c	∀ a, b, c ∈ ℕ: a · (b · c) = (a · b) · c
Neutrální prvek	∀ a ∈ ℕ: a + 0 = a	∀ a ∈ ℕ: a · 1 = a
Inverzní prvek
Komutativita	a + b = b + a	a · b = b · a
Struktura	komutativní monoid	komutativní monoid

Celá čísla, ℤ (Integers)

$ℤ = \{…, -2, -1, 0, 1, 2, …\}$ .

Celá čísla se skládajíc z čísel množiny ℕ a také záporných čísel. Označení ℤ vychází z německého zahlen - čísla. Oproti přirozeným číslům jsme schopni s celými čísly zaznamenat přírustek či úbytek. Objevem celých čísel se lidem otevřela možnost jednoduchého účetnictví.

Algebraitské vlastnosti celých čísel

Množina celých čísel je uzavřená na operacích (+) a (·). Navíc díky existenci inverzního prvku u sčítání můžeme s celými číslami provádět i operaci odčítání (–). Operace odčítání je z algebraiského pohledu ve skutečnosti sčítání s opačným prvkem.

Neexistuje inverzní prvek vzhledem k násobení a tak ℤ nejsou uzavřena na dělení. Důkazem, že skutečně nemůžeme dělit nám mohou být celá čísla 13 a 7, kdy u dělení $\frac{13}{7}$ dostáváme racionální číslo, nikoliv celé číslo.

	Sčítání	Násobení
Uzavřenost	∀ a, b ∈ ℤ ⇒ a + b ∈ ℤ	∀ a, b ∈ ℤ ⇒ a · b ∈ ℤ
Asociativita	∀ a, b, c ∈ ℤ: a + (b + c) = (a + b) + c	∀ a, b, c ∈ ℤ: a · (b · c) = (a · b) · c
Neutrální prvek	∀ a ∈ ℤ: a + 0 = a	∀ a ∈ ℤ: a · 1 = a
Inverzní prvek	a + (-a) = 0
Komutativita	a + b = b + a	a · b = b · a
Struktura	abelovská grupa	komutativní monoid

Racionální čísla, ℚ (Rational number)

$ℚ = \{\frac{p}{q}; p ∈ ℤ, q ∈ ℕ, \text{nesoudělná}\}$ .

Využití: Racionalní čísla se dají zapsat jako zlomek a jejich zavedení tedy vyplynulo z počítání se zlomky. Vyjadřují se díky nim snadno počet dílů v celku. Zlomky používali již Egypťané tisíc let před n.l.

Algebraitské vlastnosti racionálních čísel

Stejně jako u celých čísel je množina uzavřená na operacích (+), (–), (·). Malou úpravou můžeme docílit i uzavřenosti na operaci dělení (/), pokud z ℚ vyloučíme číslo 0. Množina $ℚ-\{0\}$ s operací · je grupou.

	Sčítání	Násobení
Uzavřenost	∀ a, b ∈ ℚ ⇒ a + b ∈ ℚ	∀ a, b ∈ ℚ ⇒ a · b ∈ ℚ
Asociativita	∀ a, b, c ∈ ℚ: a + (b + c) = (a + b) + c	∀ a, b, c ∈ ℚ: a · (b · c) = (a · b) · c
Neutrální prvek	∀ a ∈ ℚ: a + 0 = a	∀ a ∈ ℚ: a · 1 = a
Inverzní prvek	a + (-a) = 0
Komutativita	a + b = b + a	a · b = b · a
Struktura	abelovská grupa	komutativní monoid

Tvoří těleso (field).

Proč nám nestačí racionální čísla?

Racionální čísla a reálná obě splňují vlastnost tělesa. Čím se tedy liší? Použijeme-li geometrického znázornění ℝ jako přímky, pak lze požadovat, aby přímka byla spojitá – jinak řešeno množina reálných čísel neobsahuje díry. Tento požadavek formulujeme jako tzn. axiom úplnosti.

Axiom úplnosti: Každý smršťující se systém uzavřených intervalů, jejichž délky jsou libovolně malé, má neprázdný průnik.

Problém je, že nejde o “pár” čísel, který by šlo doplnit, ale iracionálních čísel je daleko více než racionálních.

Např. délka úhlopříčky ve čtverci o straně délky 1, která jakožto iracionální číslo $\sqrt{2}$ nelze v ℚ vyjádřit.

Reálná čísla, ℝ (Real number)

Reálné číslo je jakékoliv číslo s libovolným desetiným rozvojem. Jde o množinu, která je sjednocením čísel ℚ a Iracionálních čísel. Využití: reálná čísla definoval Georg Cantor v 19. století.

Algebraitské vlastnosti reálných čísel

Tato množina je uzavřená na operacích (+), (–), (·) a (/).

	Sčítání	Násobení
Uzavřenost	∀ a, b ∈ ℝ ⇒ a + b ∈ ℝ	∀ a, b ∈ ℝ ⇒ a · b ∈ ℝ
Asociativita	∀ a, b, c ∈ ℝ: a + (b + c) = (a + b) + c	∀ a, b, c ∈ ℝ: a · (b · c) = (a · b) · c
Neutrální prvek	∀ a ∈ ℝ: a + 0 = a	∀ a ∈ ℝ: a · 1 = a
Inverzní prvek	a + (-a) = 0
Komutativita	a + b = b + a	a · b = b · a
Struktura	abelovská grupa	komutativní monoid

Tvoří těleso. Množina ℝ-0 s operací · je grupou.

ℝ^*: Rozšířená reálná osa (Extended Real number)

Rozšířená reálná osa

Komplexní čísla, ℂ (Complex number)

Množinu komplexních čísel definujeme jako $ℂ = {a + bi : a, b ∈ ℝ}$ ,

kde i značí tzv. imaginární jednotku nebo jen imaginární číslo, číslo s vlastností i²=−1. Koeficienty a,b ∈ R popořadě nazýváme reálnou a imaginární částí $z ∈ ℂ$ a značíme je $a=Re z, b=Im z$ .

Pro dvě komplexní čísla triviálně (s využitím faktu $i^2 = −1$ ) platí:

$(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i$ ,

$(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i$ .

Komplexní číslo $z = a + bi$ znázorňujeme v tzv. komplexní rovině jako bod o souřadnicích (a, b).

Číslem komplexně sdruženým k z nazveme číslo $\bar{z}$ = a − bi.

$\bar{z}·z = |z|^2 = a^2 + b^2$ Tvoří algebraitskou strukturu [tělesa].

Iracionální čísla

Nedají se zapsat pomocí zlomku, ani pomocí desetinného zápisu protože mají nekonečný neperiodický rozvoj. Např. číslo π.

Na těchto množinách, které jsou v množinovém vztahu ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ, umíme přirozeně sčítat a násobit, přičemž všechny tři množiny jsou vůči těmto operacím uzavřené.