Naučte se

Velikost nekonečen

Jak porovnta množinu

U konečné množiny je nejintuitivnější postup takový, že spočítáme její prvky a porovnáme výsledek s jinou množinou. Velikost konečné množiny můžeme vyjádřit snadno přirozeným číslem. Existuje však spolehlivější metoda, u které ani nemusíme umět počítat. Můžeme jednoduše vzájemně popárovat všechny prvků z jedné množiny na druhou množinu.

Jako kritérium pro srovnání velikosti množin určil Cantor existenci vzájemně jednoznačného zobrazení: jestliže takové zobrazení mezi dvěma množinami existuje, pak mají stejnou mohutnost. Cantor byl první, kdo se tohoto kroku důsledně odvážil.1 Tato metoda je známá jako Cantorova-Bernsteinova věta.

Jak jsou velká racionální a celá čísla?

Možná vás taky někdy napadla otázka: o kolik je ℚ větší než ℤ? Intuitivně nám příjde, že množina racionálních čísel je větší než množina celých čísel. Jak vlastně porovnáváme počet prvků nekonečných množin? Pomocí bijektivního zobrazeního můžeme dokázat, že mají stejnou mohutnost.

Zobrazení dané předpisem $\frac{m}{n} \mapsto 2^m3^n$ je injektivním zobrazením z ℚ do ℤ. O nekonečné množině, kterou lze bijektivně zobrazit na celá čísla, říkáme, že je spočetná. Množiny ℕ, ℤ a ℚ jsou spočetné množiny.

V kontextu nekonečných množin mluvíme o velikosti, spíše jako o mnohutnosti, protože některá nekonečna jsou větší než jiná nekonečna. To vedlo k zavedení pojmů kardinální číslo nebo ordinální číslo. Nekonečné množiny mezi sebou můžeme pouze porovnávat sestrojením bijektivního zobrazení, které nám jednoznačně přiřadí dva prvky z obou množin k sobě. Pak můžeme o nekonečných množinách prohlásit, že mají stejnou mohutnost.

Cantorova-Bernsteinova věta

Anglicky: Cantor-Schröder-Bernstein Theorem. Jde o větu z oblasti teorie množin, které bylo již předvedeno na předchozím příkladu.

Nechť f: A → B a g: B → A jsou prostá zobrazení. Po tom existuje zobrazení h: A → B které je bijektivní.

Existence těchto dvou prostých zobrazení „tam a zpět“ je postačující podmínkou pro existenci bijekce. O nekonečné množině, kterou lze bijektivně zobrazit na celá čísla, říkáme, že je spočetná. Množiny ℕ, ℤ a ℚ jsou spočetné množiny.

Související