@andreaJak porovnat velikosti dvou množin?
U konečných množin obvykle postupujeme tak, že spočítáme prvky jedné množiny a pak druhé a pak porovnáme sumy mezi sebou. Velikost konečné množiny totiž můžeme vyjádřit snadno přirozeným číslem. Existuje však jiná metoda, u které ani nemusíme umět počítat. Můžeme porovnat velikosti množin pomocí bijekce. To se dělá tak, že vytvoříme pár mezi prvkem jedné množiny a prvkem druhé množiny. Jakmile nám v jedné či druhé množině nějaký prvek zbyde sám a nemá s kým dalším utvořit pár, pak víme, že tato množina je větší.
George Cantor se věnoval teorii množin a jako kritérium pro srovnání velikosti množin určil existenci vzájemně jednoznačného zobrazení: jestliže takové zobrazení mezi dvěma množinami existuje, pak mají stejnou mohutnost. Cantor byl první, kdo se tohoto kroku důsledně odvážil ^1. Tato metoda je známá jako Cantorova-Bernsteinova věta.
Jak jsou velká racionální a celá čísla?
Možná vás taky někdy napadla otázka: o kolik je ℚ větší než ℤ? Intuitivně nám příjde, že množina racionálních čísel je větší než množina celých čísel. Jak vlastně porovnáváme počet prvků nekonečných množin? Pomocí bijektivního zobrazeního můžeme dokázat, že mají stejnou mohutnost.
Zobrazení dané předpisem je injektivním zobrazením z ℚ do ℤ. O nekonečné množině, kterou lze bijektivně zobrazit na celá čísla, říkáme, že je spočetná. Množiny ℕ, ℤ a ℚ jsou spočetné množiny.
V kontextu nekonečných množin mluvíme o velikosti, spíše jako o mnohutnosti, protože některá nekonečna jsou větší než jiná nekonečna. To vedlo k zavedení pojmů kardinální číslo nebo ordinální číslo. Nekonečné množiny mezi sebou můžeme pouze porovnávat sestrojením bijektivního zobrazení, které nám jednoznačně přiřadí dva prvky z obou množin k sobě. Pak můžeme o nekonečných množinách prohlásit, že mají stejnou mohutnost.
Cantorova-Bernsteinova věta
Anglicky: Cantor-Schröder-Bernstein Theorem. Jde o větu z oblasti teorie množin, které bylo již předvedeno na předchozím příkladu.
Nechť f: A → B a g: B → A jsou prostá zobrazení. Po tom existuje zobrazení h: A → B které je bijektivní.
Existence těchto dvou prostých zobrazení „tam a zpět“ je postačující podmínkou pro existenci bijekce. O nekonečné množině, kterou lze bijektivně zobrazit na celá čísla, říkáme, že je spočetná. Množiny ℕ, ℤ a ℚ jsou spočetné množiny.