Bolzanova-Weierstrassova věta

@andrea@andrea

Věta je pojmenovaná podle Bernarda Bolzana a Karla Weierstrasse a je důležitá při studiu konvergence posloupností. Poskytuje záruku, že každá omezená posloupnost obsahuje alespoň jednu konvergentní podposloupnost. Hraje klíčovou roli v důkazech v matematické analýze, například v existenci a jednoznačnosti řešení diferenciálních rovnic, teorii Fourierovy řady atd.

Omezená posloupnost

Věta nám říká, že omezená posloupnost reálných čísel má hromadný bod a. Omezená posloupnost je, když existují čísla K a k, taková že pro každé číslo ana_n v posloupnosti platí k≤an≤Kk ≤ a_n ≤ K. Nebo alternativně existuje kladné K∈RK ∈ ℝ, pro které platí ∣an∣<K|a_n| < K pro každé n∈Nn ∈ ℕ.

Důkaz: axiom úplnosti

Jistě existuje interval ⟨b1,c1⟩⟨b1, c1⟩ takový, že obsahuje všechny členy posloupnosti (an)n=1∞(a_n)^∞_{n=1}. Dokazujeme postupným půlením intervalů, rozdělíme tedy interval na poloviční intervaly ⟨b1,b1+c1⟩⟨b_1, b_1+c_1⟩ a ⟨b1+c1,c1⟩⟨b_1+c_1, c_1⟩, pak aspoň jeden z těchto intervalů obsahuje nekonečně mnoho členů této posloupnosti, označme ho ⟨b2,c2⟩⟨b_2, c_2⟩.

Tímto způsobem induktivně sestrojíme systém vnořených intervalů ⟨bn,cn⟩⟨b_n, c_n⟩ z nichž každý obsahuje nekonečně mnoho členů (an)n=1∞(a_n)^∞_{n=1} a pro jejichž délky platí

lim⁡x→+∞(cn−bn)=lim⁡x→+∞c1−b12n−1=0.\lim\limits_{x \to +∞} (c_n −b_n) = \lim\limits_{x \to +∞} \frac{c_1 −b_1}{2^{n-1}} =0.

Podle axiomu úplnosti existuje reálné xx patřící do každého z intervalů ⟨bn,cn⟩⟨b_n, c_n⟩. Protože délky intervalů ⟨bn,cn⟩⟨b_n, c_n⟩ konvergují k nule, lze pro libovolné okolí UxU_x bodu x nalézt n dostatečně velké na to, aby celý interval ⟨bn,cn⟩⟨b_n, c_n⟩ patřil do UxU_x. Proto lze v UxU_x nalézt nekonečně mnoho členů posloupnosti a x je tedy hromadným bodem.

Důsledek B-W: Věta o limitě konvergentní posloupnosti

Konvergentní posloupnost ⟹ omezená.

Každá reálná monotonní posloupnost má limitu. Tato limita je konečná, právě když je daná posloupnost omezená.