Heiného věta

Když známe limitu funkce dokážeme z ní odvodit i spoustu limit posloupností. Naopak je to komplikovanější.

Heineho věta (Ekvivalentní definice limity)

$\lim\limits_{x \to a} f(x) = c$ ⇔ funkce f definována na okolí bodu a (s možnou výjimkou bodu a) a pro každou posloupnost $(x_n)$ s limitou $a$ a splňující $\{x_n|n ∈ N\} ⊂ D_f/{a}$ platí $\lim\limits_{x \to \infty} f(x_n) = c$.

Tuto větu jsme použili při práci s posloupnostmi. Věta také platí v opačném směru, ale pro hledání limit funkcí to není zrovna užitečné, protože bychom museli vyzkoušet všechny možné posloupnosti jdoucí k a, dosadit do f a podívat se, co se stane, než bychom mohli říct něco o limitě f.

Příklad, plynoucí z Hejného věty

Víme, z limit o posloupností, že pro libovolné k ∈ N a pro libovolnou posloupnost $a_n$ splňující $a_n ≥ 0$ a $\lim\limits_{x \to \infty} a_n = α ∈ \lt0, +∞)$ platí $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[k]{a_n } = \sqrt[k]{α}$

Heineho věta pak implikuje

• $\lim\limits_{x \to α} \sqrt[k]{x} = \sqrt[k]{α}$
• $\lim\limits_{x \to 0+} \sqrt[k]{x} = 0$