Souřadnicové systémy

Potřebujete systém ve kterém definujete přesnou pozici některých elementů? Způsobů jak to udělat je mnoho, protože souřadnicových systémů je více. První věcí, kterou bysme si měli ujasnit je, zda se bod který nás zajímá nachází v prostoru nebo v rovině.

V antickém Řecku si na základě logických argumentů Eukleides uvědomil, že geometrie je součástí matematiky a že celý trojrozměrný prostor je možno axiomaticky popsat stejně dobře jako jiné matematické struktury, například teorii čísel. Vybudoval svou úžasnou matematickou teorii nekonečného trojrozměrného prostoru a popsal jeho geometrické vlastnosti. Všeobecně byla pak přijata jako jediná logicky možná verze fyzikálního prostoru.

Max Tegmark

Rovinné

S rovinnými souřadnicovými systému se setká každý, kdo kdy minimálně potřeboval zjistit, kde se přesně nechází na mapě. Možná je matoucí, že náš svět se nachází v 3D prostoru, nicméně pracujeme s modelem světa, který popisuje povrch planety.

…In that Empire, the Art of Cartography attained such Perfection that the map of a single Province occupied the entirety of a City, and the map of the Empire, the entirety of a Province. In time, those Unconscionable Maps no longer satisfied, and the Cartographers Guilds struck a Map of the Empire whose size was that of the Empire, and which coincided point for point with it.¹

Pravděpodobně se setkáme s dvěma hlavními systémy:

Kartézský souřadnicový systém

Nejběžněji používaný kartézský souřadný systém, která má v rovině dvě osy. Ty si představíme jako dvě na sebe kolmé čáry označované jako x-ová osa (vodorovná) a y-ová osa (svislá). Obvykle se uvažuje, že hodnoty na osách rostou směrem doprava (osa x) a směrem nahoru (osa y).

Body kartézského systému

Samotné souřadnice bodu zapisujeme jako n-tici čísel, která udávají, o kolik jednotek se musíme posunout ve směru které z os, abychom z počátku dorazili do bodu, kterému souřadnice patří. Každý bod v rovině můžeme určit jeho souřadnicemi vůči osám.

Polohu bodu udáváme jako vzdálenost od počátku (0,0), od počátku osy x a počátku osy y. Tedy vyjadřujeme o kolik se liší jejich x-ové a y-ové souřadnice. To nám dá dvojici čísel, které říkáme vektor.

Polární souřadnicový systém

Body polárního systému

Polohu bodu můžeme také určit podle vzdálenosti a směru (třeba jako úhel vzhledem k ose x). Vzdálenost udáváme jako vzdálenost od počátku (0,0) a úhel od význačného směru (např. osy x). φ ∈ ⟨0, 360°)

Využívá se často popisu bodů na zemském povrchu. Často používaný souřadnicový systém je

WGS 84, známější jako GPS formát,
UTM33

Prostorové

Převod kartézských souřadnic na polární

$|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2}$ $α = arctg( \frac{y}{x})$

Transformace polárních souřadnic na kartézské

$x=r cos(α)$ $y=r sin(α)$

Souřadnice

Každé z ∈ ℂ lze zapsat i v tomto polárním tvaru jako z = a + bi = r*eⁱ = r(cos(α) + i · sin(α)).

Eulerův vzorec = $e_{iα} = (cos(α) + i · sin(α))$

[1]: Jorge Luis Borges https://www.sccs.swarthmore.edu/users/08/bblonder/phys120/docs/borges.pdf [Matematický aparát fyziky - MAM01]: https://www.youtube.com/watch?v=PysBx0NseK8