Praktickou otázkou týkající se posloupností je jejich chování pro velké indexy, tedy tzv. chování v nekonečnu. Posloupnost buď limitu nemá, nebo ji má a její hodnota je pak dána jednoznačně. Jinak řečeno, žádná posloupnost nemůže mít dvě různé limity.
Vlastní limita: (∀ε ∈ ℝ, ε > 0)(∃n0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ)(n > n0 ⇒ |an − α| < ε).
Nevlastní limita: (∀c ∈ ℝ)(∃n0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ)(n > n0 ⇒ an > c)
Definice pomocí hromadného bodu: (∀Ha)(∃n0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ)(n > n0 ⇒ an ∈ Ha).
Konvergence a divergence posloupnosti
Buď $(a_n)_{n=1}^\infty$ posloupnost. Pokud pro její limitu platí lim an ∈ R, pak se nazývá konvergentní. V ostatních případech ji nazýváme divergentní.
Známé limity
\[\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1\] \[\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{c} = 1\] \[\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty\] \[ \lim\limits_{n \to \infty} a^n \begin{cases} 0 & \quad |a| \lt 1\\ 1 & \quad a = 1\\ \infty & \quad a \gt 1\\ neexistuje & \quad a \leq -1 \\ \end{cases} \] \[ \lim\limits_{n \to \infty} n^a \begin{cases} +\infty & \quad a \gt 1\\ 1 & \quad a = 1\\ 0 & \quad \lt 0\\ \end{cases} \]
Součin, podíl limit, absolutní hodnota
-
\[
\lim\limits_{n \to \infty} (a_n ± b_n) = \lim\limits_{n \to \infty}a_n ± \lim\limits_{n \to \infty}b_n= a ± b
\]
Důkaz (pro ℝ): (∀ε ∈ ℝ, ε > 0)(∃n0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ)(n > n0 ⇒ |(an + bn) - (a+b)| < ε)
|(an + bn) - (a + b)| = |(an - a) + (bn - b)| ≤ |an-a| + |bn-b| - \[ \lim\limits_{n \to \infty} a_n·b_n = \lim\limits_{n \to \infty}a_n·\lim\limits_{n \to \infty}b_n = a·b \]
- \[ \lim\limits_{n \to \infty} c·a_n = c·a \]
-
\[
\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}
\]
pokud je výraz na pravé straně definován.
Bolzanova-Weierstrassova věta
DEFINICE: Posloupnost (an) je omezená ⇔ existuje kladné K ∈ ℝ, pro které platí |an| < K pro každé n ∈ ℕ.
VĚTA: Každá omezená číselná posloupnost má hromadný bod.
Důkaz: axiom úplnosti, půlení intervalů.
Konvergentní posloupnost ⟹ omezená
1. postup: Posloupnost je ostře roustoucí, proto její limita musí existovat. Díky podposloupnosti (posloupnosti částečných součtů) určíme její limitu.
2. postup: Pomocí Bolzano-Cauchyho kriteria.
Věta o nerovnostech limit
VĚTA: Nechť reálné posloupnosti (an) a (bn) mají limity v R*.
Pokud $\lim\limits_{n \to \infty} a_n \lt \lim\limits_{n \to \infty} b_n$ potom existuje n0 ∈ ℕ tak, že pro všechna přirozená n > n0 platí an < bn.
Důsledek: Nechť (an) a (bn) jsou reálné posloupnosti mající limitu v R*. Pokud existuje n0 takové, že pro všechna přirozená n > n0 je an ≤ bn, potom lim an ≤ lim bn.
Všimněte si, že neostrost nerovnosti je zde důležitá. Například, pro an = $\frac{1}{n}$ a bn = 0 platí ostrá nerovnost, ale lim an = lim bn = 0.
Důsledek
Věta o sevřené posloupnosti (o 2 policajtech)
Nechť (an), (bn) a (cn) jsou reálné posloupnosti pro které platí
- (∃n0 ∈ ℕ)(∀n ∈ ℕ, n > n0)(an ≤ bn ≤ cn)
- posloupnosti (an) a (cn) mají stejnou limitu α ∈ R.
Potom existuje limita posloupnosti (bn) a platí lim bn = α.
Podílové kritérium
Buď (an) posloupnost kladných čísel a nechť existuje limita q = $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$. Potom platí pro
- q < 1, že $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$,
- q > 1, že $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = ∞$.
!Pozor, pokud q=1, nevíme nic! Limita může být jakákoliv...
Důkaz bodu 1
Protože q < 1, určitě existuje r splňující q < r < 1. Díky tomu pak i $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt r$.
Dle věty o nerovnostech v limitách existuje n0 ∈ ℕ takové, že nerovnost $\frac{a_{n+1}}{a_n} \lt r$ platí pro všechna n ≥ n0. Díky nezápornosti členů posloupnosti pak platí nerovnost an+1 < r·an, pro libovolné n ≥ n0. Tudíž pro n ≥ n0 je 0 ≤ an ≤ rn-n0·an0.
Protože 0 < r < 1, je limita pravé strany nerovnosti rovna nule.