Teorie množin

Nekonečno! Žádná jiná myšlenka nezapůsobila tak významně na mysl člověka; žádná jiná myšlenka tolik nebovzbudila jeho intelekt; přesto žádný jiný koncept nepotřebuje víc objasnit…

David Hilbert

Teorie množin má v matematice zejména dvojí roli: je přínosná ve studiu nekonečen, a její aximatizace se ukázala natolik univerzální a silná, že poskytuje dobrý základ pro mnoho dalších matematických oborů. Umožnila postavit matematiku na pevný základ, díky čemuž se na počátku 20. století začala prudce rozvíjet.

Všichni máme nějakou intuitivní představu nekonečna, jako je třeba představa něčeho, co trvá věčně a pokračuje dál a dál. Nebo když se pokusíte představit největší číslo, na které si vzpomenete, vždycky k němu můžete přidat ještě jedničku (potenciální nekonečno). Jak už to tak bývá, když se snažíte nekonečno uchopit formálně a rigorózně, začíná se věc komplikovat 😊. Teorie množin se běžně dělí na naivní teorii množin a axiomatickou teorii množin, která přesně formuluje vlastnosti množin pomocí několika axiomů.

Naivní teorie množin

Pro řešení každodenních problémů a také pro velkou oblast matematiky je naivní teorie zcela dostačující nástroj, avšak skrývá v sobě jisté rozpory.

První pokus o zavedení pojmu množina provedl Bernard Bolzáno (1781-1848). Důsledně se pokoušel každou myšlenku založit na přesném vymezených pojmech a promyslet je do nejzazších důsledků.

Nynější naivní teorie množin stojí spíše na George Cantorově vymezení množiny: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů našeho nazírání nebo myšlení do jednoho celku.¹. Ďábel se skrývá ve slovíčko shrnutí, protože pak existují množiny, které považovat za množiny nemůžeme a tímto vznikly paradoxy.

Jak velké je nekonečno?

Dalším problémem, před kterým stála ranná teorie množin, byl jak rozšířit pojem „počet prvků“ i na nekonečné množiny. Počet elementů v množině se nazývá její mohutnost. Tomuto zobecnění říkáme mohutnost množiny nebo kardinalita množiny. Přirozená čísla jsou kardinálními čísly konečných množin. O nekonečné kardinálitě čísel a porování velikostí množin si můžete přečíst zde.

 

Axiomatická teorie množin

Aktuální nekonečno zavedl do matematiky se vší důsledností Cantor, když v letech 1873-1897 publikoval sérii prací, ve kterých soustavně rozvinul matematické prostředky ke studiu nekonečných množin.¹

v minulosti se vedl spor o to, zda může být nekonečno jako aktuální entita. Tuto představu odmítal už Aristoteles, a proti stavěli také křesťanští teologové. Cantor byl opačného názoru a to, že vlastnosti nekonečných čísel nemohou být určeny z vlastností čísel konečných. Takové pokusy nevyhnutelně vedou k nedorozumění a ke sporům.

První paradoxy

• Nejprve v pokročilých partiích bylo nutno zavedení pojmů kardinální a ordinální číslo. Burali-Fortiho paradox ukázal, že množina všech ordinárních čísel je dobře uspořádaná.
• O dva roky později 1895 našel Cantor rozpor týkající se potenčních množin.
• v roce 1902 Bertrand Russell nelezl tzv. Russellův paradox (x ∉ x).
• Richardův paradox.

Pokus o revizi teorie množin, proniknutý Russellen a Whiteheadem, vyústil v nový axiomatický systém matematické logiky - tzv. teorii typů. Teorie typů Teorie množin, rozvinutá Russelem v rámci teorie typů,byla těžkopádná a příliš se nevžila. Pozdější pokus o odstranění strnulosti teorie typů pocházejí od W. W. Quinea a jsou známy pod názvem New Foundations.¹

Ty byly vyloučeny vhodným omezením působnosti množin. Vznikly axiomatické teorie Zermellova-Fraenkelova a Gödelova-Bernaysova, s nimiž se v matematice pracuje dodnes.

Jazyk teorie množin

Jazyk obsahuje jediný speciální symbol, totiž binární predikát ∈ pro náležení. Ukazuje se, že na tomto pojmu lze uvnitř univerza množin vybudovat základy veškeré běžné matematiky. Matematické objekty lze pak nahlížet jako množiny opatřené nějakou strukturou.

• proměnné
• logické spojky
• kvantifikátory existence a pro všechno.
• předikátový symbol pro náležení
• závorky

Na youtube najdete serii videí na téma Esence teorie množin.