Naučte se

Teorie množin

Teorie množin se dělí na naivní teorii množin a axiomatickou teorii množin, která přesně formuluje vlastnosti množin pomocí někola axiomů. Pro část matematiky je naivní teorie dostačující, avšak skrývá v sobě jisté rozpory. Teorie množin má v matematice zejména dvojí roli. Její přínos je zejména ve studiu nekonečna a ukázalo se také, že aximatizace teorie množin je natolik univerzální a silná, že pokryje mnoho dalších matetickách oborů.

Nekonečno! Žádná jiná myšlenka nezapůsobila tak významně na mysl člověka; žádná jiná myšlenka tolik nebovzbudila jeho intelekt; přesto žádný jiný koncept nepotřebuje víc objasnit…

David Hilbert

První pokus o zavedení pojmu množina provedl Bernard Bolzáno (1781-1848). Důsledně se pokoušel každou myšlenku založit na přesném vymezených pojmech a promyslet je do nejzazších důsledků.

Záklády oboru však položil až George Cantor. Aktuální nekonečno zavedl do matematiky se vší důsledností G. Cantor, když v letech 1873-1897 publikoval sérii prací, ve kterých soustavně rozvinul matematické prostředky ke studiu nekonečných množin.1 V minulosti se vedl spor o to, zda může být nekonečno jako aktuální entita. Tuto představu odmítal už Aristoteles, a proti stavěli také křesťanští teologové. Cantor byl opačného názoru a to, že vlastnosti nekonečných čísel nemohou být určeny z vlastností čísel konečných. Takové pokusy nevyhnutelně vedou k nedorozumění a ke sporům.

První paradoxy

Cantorovo vymezení množiny: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme prvky) do jediného celku M.1. Na této definici stojí tzv. naivní teorie množin. Posléze se ukázalo, že existují shrnutí, které za množiny považovat nemůžeme a tímto vznikly antonimie2.

  • Nejprve v pokročilých partiích bylo nutno zavedení pojmů kardinální a ordinální číslo. Burali-Fortiho paradox ukázal, že množina všech ordinárních čísel je dobře uspořádaná.
  • O dva roky později 1895 našel Cantor rozpor týkající se potenčních množin.
  • V roce 1902 Bertrand Russell nelezl tzv. Russellův paradox (x ∉ x).
  • Richardův paradox.

Pokus o revizi teorie množin, proniknutý Russellen a Whiteheadem, vyústil v nový axiomatický systén matematické logiky - tzv. teorii typů. Teorie typů Teorie množin, rozvinutá Russelem v rámci teorie typů,byla těžkopádná a příliš se nevžila. Pozdější pokus o odstranění strnulosti teorie typů pocházejí od W. W. Quinea a jsou známy pod názvem New Foundations.1

Ty byly vyloučeny vhodným omezením působnosti množin. Vznikly axiomatické teorie Zermellova-Fraenkelova a Gödelova-Bernaysova, s nimiž se v matematice pracuje dodnes.

Jazyk teorie množin

Jazyk obsahuje jediný speciální symbol, totiž binární predikát ∈ pro náležení. Ukazuje se, že na tomto pojmu lze uvnitř univerza množin vybudovat základy veškeré běžné matematiky. Matematické objekty lze pak nahlížet jako množiny opatřené nějakou strukturou.

  • proměnné
  • logické spojky
  • kvantifikátory existence a pro všechno.
  • předikátový symbol pro náležení
  • závorky

Další čtení

Porovnávání velikostí množin

Na youtube najdete serii videí na téma Esence teorie množin.

  1. B. Balcar, P. Štěpánek, Teorie množin, Academia, 2005. ↩ ↩ ↩

  2. https://cs.wikipedia.org/wiki/Paradoxy_naivn%C3%AD_teorie_mno%C5%BEin ↩

Související