Okolí bodu

Okolím bodu myslíme interval nebo množinu, která zahrnuje body které nachází v určité vzdálenosti od zadaného středu (bodu).

Tento základní koncept je důležitý pro pochopení a definování dalších důležitých pojmů v analýze jako je hromadný bod, limita a derivace.

Používáme notace z intervalů

Intervalem můžeme formálně popsat hodnoty jdoucí za sebou a jakému číslu se přibližují. Zkoumáme jak se mění, když okolí zmenšujeme nebo zvětšujeme.

Okolí bodu a

Neprve si potřebujeme určit bod středu $a ∈ ℝ$ a poloměr $ε > 0$. Otevřený interval $(a − ε, a + ε)$ nazýváme okolím bodu $a$ o poloměru $ε$.

Tuto skutečnost se pak často značí symbolem $U_a(ε)$. „U“ pochází z německého slovíčka die Umgebung pro „okolí“.

Prvek $x$ patří do tohoto okolí, právě když splňuje nerovnost $|x - a| < ε$, což znamená, že vzdálenost x od $a$ není větší než $ε$.

$U_a(ε) = \{x ∈ R; |x − a| < ε\}$

Pokud není třeba specifikovat poloměr, píšeme jen $U_a$, $U_∞$.

Můžeme zahrnout i okolí nekonečna, pokud rozšíříme výběr a z rozšířené reálné osy.

Jednostranné okolí bodu

Polouzavřený interval $⟨a, a + ε)$, resp. $(a − ε, a⟩$, nazýváme pravým, resp. levým, okolím bodu a značíme ho $U^+(ε)$, resp. $U^−(ε)$.

Okolí bodu vektoru

Neprve musíme umět změřit vzdálenost ve vektorovém prostoru $ℝ^n$, je spousta možností jak to udělat. Například pomocí normy nebo jiné metriky, která přiřazuje každému bodu v prostoru nezáporné číslo, které reprezentuje jeho "velikost" nebo "délku".

Buď bod vektor $x ∈ ℝ^n$, δ-okolí bodu x je množina $\{ b ∈ ℝ^n; \operatorname*{norma}(x, b) < δ\}$.

Jedním z běžných příkladů normy je eukleidovská norma, která se používá v eukleidovském prostoru (prostor s běžnou geometrií, jakou známe z každodenního života). V tomto případě je okolí definováno jako koule se středem v daném bodě a určitým poloměrem.

Využití

Okolí bodu se používá v oblastech matematické analýzy, topologie a geometrie.

Diferenciální a integrální počet

Okolí bodu se používá k analýze rychlosti změny funkce (derivace) nebo pro výpočet plochy pod křivkou (integrál). V těchto situacích se často pracuje s malými změnami v okolí bodu, aby bylo možné odhadnout hodnotu derivace nebo integrálu.

Optimalizace

V optimalizačních problémech se často hledá bod, kde funkce nabývá svého maxima nebo minima. Okolí bodu nám umožňuje zkoumat chování funkce v blízkosti tohoto bodu a určit, zda se jedná o maximum, minimum nebo sedlový bod.