Derivace exponenciální funkce

@andrea@andrea

Derivace funkce ex je opět funkce ex. Tedy (ex)′=ex.(e^x)' = e^x.

Proč je derivace exponenciály zase exponenciála? Derivace této funkc plyne přímo ze základní limity pro exponenciálu lim⁡x→0ex−1x=1.\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1. Tato limita je součástí definice funkce exponenciály.

Derivace základu ex

Podle věty o limitě součinu funkcí platí

ex=lim⁡t→0ex+t−ext=lim⁡t→0exet−ext=exlim⁡t→0et−1t=ex∗1=ex.\begin{align*} e^x &= \lim\limits_{t \to 0} \frac{e^{x+t} - e^x}{t}\\ &= \lim\limits_{t \to 0} \frac{e^{x}e^{t} - e^x}{t}\\ &= e^x\lim\limits_{t \to 0} \frac{e^{t} - 1}{t}\\ &= e^x*1\\ &= e^x. \end{align*}

Derivace ax (obecného základu)

(ax)′=ex⋅ln⁡a≡ax⋅ln⁡a(a^x)' = e^{x·\ln{a}} ≡ a^x·\ln{a}