Naučte se

Limita funkce

05. 11. 2020

Funkce má narozdíl od posloupnosti spojitý argument a probíhá podmnožinu ℝ. Zjišťujeme chování funkce v okolí bodu a. U limity posloupnosti, jediné co lze dělat, je běžet s proměnnou n do nekonečna. Tady je nekonečno schované v okolí - můžu poslat do reálné hodnoty.

Předpokladem je funkce f, která je definovaná na okolí bodu a s možnou výjimkou bodu a samotného. Funkční hodnota limity funkce f v bodě a závisí pouze na chování na okolí bodu a mimo bod a. V definici se nikde f(a) neobjevuje, nemusí být v bodě definovaná.

Definice pomocí okolí

Řekneme, že c ∈ ℝ_* je limitou funkce f v bodě a ⇔ (∀H_c)(∃H_a)(∀x ∈ D_f)(x ∈ H_a-{a} ⇒ f(x) ∈ H_c)

Poznámka (ε-δ definice)

Vlastní limita ve vlastním bodě, což znamená případ, kdy a i c jsou prvky ℝ. Podmínka $\lim\limits_{x \to a} f(x) = c$ ekvivalentní požadavku:
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ∈ D_f)(0 < |x−a| < δ ⇒ |f(x) − c| < ε)

Součin, podíl limit, absolutní hodnota

\[ \lim\limits_{a} (f ± g) = \lim\limits_{a}f ± \lim\limits_{a}g, \]
\[ \lim\limits_{a} f·g = \lim\limits_{a}f·\lim\limits_{a}g, \]
\[ \lim\limits_{a} \frac{f}{g} = \frac{\lim\limits_{a}f}{\lim\limits_{a}g}
\]

Vlastnosti limit

Při výpočtu limit posloupností často nevyužíváme přímo definici, ale znalost několika základních limit.

Věta 4.3: Nechť a ∈ ℝ. Limita limx→a f(x) existuje a je rovna c ∈ ℝ, právě když existují obě jednostranné limity limx→a+ f(x) a limx→a− f(x) a obě jsou rovny
Heineho věta

Heineho věta (Ekvivalentní definice limity)

VĚTA: $\lim\limits_{x \to a} f(x) = c$ ⇔ f definována na okolí bodu a (s možnou výjimkou bodu a) a pro každou posloupnost (x_n) s limitou a a splňující {x_n|n ∈ N} ⊂ D_f/{a} platí $\lim\limits_{x \to \infty} f(x_n) = c$.

Díky tomu, když znám limitu funkce odvodíme z ní spoustu limit posloupností, opačný směr je komplikovanější.

Tuto větu jsme použili při práci s posloupnostmi. Věta také platí v opačném směru, ale pro hledání limit funkcí to není zrovna užitečné, protože bychom museli vyzkoušet všechny možné posloupnosti jdoucí k a, dosadit do f a podívat se, co se stane, než bychom mohli říct něco o limitě f.

Příklad, plynoucí z Hejného věty

Víme, z limit o posloupností, že pro libovolné k ∈ N a pro libovolnou posloupnost (a_n) splňující a_n ≥ 0 a $\lim\limits_{x \to \infty} a_n = α ∈ \lt0, +∞)$ platí $\lim\limits_{x \to \infty} \sqrt[k]{a_n } = \sqrt[k]{α}$
Heineho věta pak implikuje

$\lim\limits_{x \to α} \sqrt[k]{x} = \sqrt[k]{α}$
$\lim\limits_{x \to 0+} \sqrt[k]{x} = 0$

Věta o limitě složené funkce

Nechť f a g jsou funkce, a, b, c jsou prvky ℝ* a platí tři postačující podmínky

$\lim\limits_{x \to b} f(x) = c$
$\lim\limits_{x \to a} g(x) = b$
(∃Ha)(∀x ∈ D_g ∩ H_a-{a})(g(x) != b) nebo (b ∈ D_f a f(b) = c)\

Potom $\lim\limits_{x \to a} f(g(x)) = c$

Poznamka k 3. bodu: funkční hodnota vnitřní funkce musí být v Df a vnější musí být spojitá v bodě c.

Příklad, plynoucí z věty o limitě složené funkci

Buď P(x) libovolný polynom a a ∈ ℝ. Potom $\lim\limits_{x \to a} P(x) = P(a)$. Tzn. Pouze dosadíme za x vlastní limitu.

$\lim\limits_{x \to 1} e^{-\frac{-1}{(x-1)^2}}$.

1. Označíme $f(x) = e^x$ a $g(x) = -\frac{-1}{(x-1)^2}$

2. $\lim\limits_{x \to 1} = -\frac{-1}{(x-1)^2} = - \infty$

3. $\lim\limits_{x \to -\infty} = e^x = 0$

Dále např. pro H¹(1) = platí g(x) != -∞ pro všechna x ∈ H¹\{1}. Tedy první možnost v 3. předpokladu je splněna. Díky větě o limitě složené funkci dostáváme výsledek.

Nerovnosti a limity

Nechť existují limity $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ a $\lim\limits_{x \to a} g(x)$. Pak platí dvě tvrzení:

Pokud $\lim\limits_{x \to a} f(x) < \lim\limits_{x \to a} g(x)$, potom ∃H_a a takové, že pro všechna x ∈ H_a-{a} platí f(x) < g(x).
Pokud existuje okolí H_a bodu a takové, že pro všechna x∈H_a∖{a} je f(x)≤g(x), potom $\lim\limits_{x \to a} f(x) ≤ \lim\limits_{x \to a} g(x)$

Věta o limitě sevřené funkce

Nechť pro funkce f, g, h a body a, c ∈ ℝ* platí:

existuje okolí Ha bodu a takové, že pro každé x ∈ Ha/{a} platí
f(x) ≤ g(x) ≤ h(x),
existují limx→a f(x) = limx→a h(x) = c. Potom existuje i limita limx→a g(x) a je rovna c.