Naučte se

Derivace elementarních funkcí

Derivace funkce

Derivaci funkce f se můžeme pokoušet počítat ve všech bodech Df. Získáváme tak novou funkci.

Tabulka doposud známých derivací elementárních funkcí.

f(x) f'(x) podmínky
xn nxn-1 x ∈ ℝ, n ∈ N0
xn nxn-1 x ∈ ℝ\{0}, n = −1, −2, …
xα nxα-1 x > 0 a α ∈ ℝ
ex ex x ∈ ℝ
ax axln a x ∈ ℝ, a > 0
ln(x) $\frac{1}{x}$ x > 0
loga(x) $\frac{1}{x*lg(a)}$
sin(x) cos(x) x ∈ ℝ
cos(x) -sin(x) x ∈ ℝ
tg(x) $\frac{1}{cos^2(x)}$ x ≠ $\frac{π}{2}$ + kπ, k ∈ Z
cotg(x) $\frac{1}{-sin^2(x)}$ x ≠ kπ, k ∈ Z
arcsin(x) $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ x ∈ (-1, 1)
arccos(x) $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ x ∈ (-1, 1)
arctg(x) $\frac{1}{1+x^2}$ x ∈ ℝ
arccotg(x) $-\frac{1}{1+x^2}$ x ∈ ℝ

Derivace konstantní funkce

Derivace konstantní funkce je rovna 0 v každém bodě. Je-li f(x) = c ∈ ℝ pro každé x ∈ ℝ, pak
$\lim\limits_{x \to a} \frac{c − c}{x − a} = \lim\limits_{x \to a} 0 = 0$,
pro každé a ∈ R.

Derivace goniometrické funkce

Derivace funkce sin x je funkce cos x a derivace funkce cos x je funkce − sin x. Pomocí součtového vzorce pro sin dostáváme $\lim\limits_{x \to a} \frac{sin(x) - sin(a)}{x-a} = … = cos(a)$
$\lim\limits_{x \to a} \frac{cos(x) - cos(a)}{x-a} = … = -sin(a)$

Související