Bolzano-Cauchy kritérium

V literatuře také Cauchyho kritérium konvergence, nebo Bolzano Cauchyova podmínka. Tato věta je jedním z hlavních nástrojů v matematické analýze, které se používají při zkoumání konvergence posloupnosti. Je velmi užitečná v situaci, kdy limitu neznáme, přesto chceme ověřit konvergenci.

Posloupnost $a_n$ je konvergentní když platí: $(∀ε > 0)(n_0 ∈ ℕ)(∀n,m ∈ ℕ)(n,m > n_0 ⇒ |a_n − a_m| < ε)$.

Jde o nutnou a postačující podmínku pro konvergenci posloupnosti.

Lidsky řečeno, posloupnost konverguje, pouze pokud se členy posloupnosti stávají libovolně blízké jeden druhému. Přibližování nemusí být na začátku posloupnosti, ale až s tím jak se indexy $n$ a $m$ zvyšují, tak od určitého indexu $n_0$ se rozdíly členů posloupnosti zmenšují až jsou menší než epsilon.

Z podmínky plyne, že posloupnost je omezená, má hromadný bod a vychází, že tento hromadný bod musí být nutně limita.

Důkaz ⇒

Nechť má $(a_n)$ limitu α ∈ R. Potom lze nalézt $n_0 ∈ ℕ$ takové, že pro každé $n > n_0$ je $|a_n − α| < ε/2$. Takže pro libovolné $n, m > n_0$ platí $|a_n − a_m| = |a_n − α + α − a_m| ≤ |a_n − α| + |α − a_m| < ε/2 + ε/2$.

Důkaz: ⇐

Pokud pro posloupnost platí toto kriterium, je cauchyovská.

Kritérium pro řady

Řada $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$ konverguje ⇔ když pro každé ε > 0 existuje $n_0> ∈ ℝ$ tak, že pro každé n ≥ n₀ a p ∈ ℕ platí:

$|a_n + a_{n+1} + ··· + a_{n+p}| < ε$

Možná by vás taky mohla zajímat jiná věta týkající se konvergence posloupností, kterou je Bolzanova-Weierstrassova věta.