Bolzano-Cauchy kritérium

@andrea@andrea

V literatuře také Cauchyho kritérium konvergence, nebo Bolzano Cauchyova podmínka. Tato věta je jedním z hlavních nástrojů v matematické analýze, které se používají při zkoumání konvergence posloupnosti. Je velmi užitečná v situaci, kdy limitu neznáme, přesto chceme ověřit konvergenci.

Posloupnost ana_n je konvergentní když platí: (ε>0)(n0N)(n,mN)(n,m>n0anam<ε)(∀ε > 0)(n_0 ∈ ℕ)(∀n,m ∈ ℕ)(n,m > n_0 ⇒ |a_n − a_m| < ε).

Jde o nutnou a postačující podmínku pro konvergenci posloupnosti.

Lidsky řečeno, posloupnost konverguje, pouze pokud se členy posloupnosti stávají libovolně blízké jeden druhému. Přibližování nemusí být na začátku posloupnosti, ale až s tím jak se indexy nn a mm zvyšují, tak od určitého indexu n0n_0 se rozdíly členů posloupnosti zmenšují až jsou menší než epsilon.

Z podmínky plyne, že posloupnost je omezená, má hromadný bod a vychází, že tento hromadný bod musí být nutně limita.

Důkaz ⇒

Nechť má (an)(a_n) limitu α ∈ R. Potom lze nalézt n0Nn_0 ∈ ℕ takové, že pro každé n>n0n > n_0 je anα<ε/2|a_n − α| < ε/2. Takže pro libovolné n,m>n0n, m > n_0 platí anam=anα+αamanα+αam<ε/2+ε/2|a_n − a_m| = |a_n − α + α − a_m| ≤ |a_n − α| + |α − a_m| < ε/2 + ε/2.

Důkaz: ⇐

Pokud pro posloupnost platí toto kriterium, je cauchyovská.


Kritérium pro řady

Řada k=0ak\sum_{k=0}^{\infty} a_k konverguje ⇔ když pro každé ε > 0 existuje n0>Rn_0> ∈ ℝ tak, že pro každé n ≥ n0 a p ∈ ℕ platí:

an+an+1++an+p<ε|a_n + a_{n+1} + ··· + a_{n+p}| < ε


Možná by vás taky mohla zajímat jiná věta týkající se konvergence posloupností, kterou je Bolzanova-Weierstrassova věta.