Tato věta nám dává nutnou a postačující podmínku pro konvergenci posloupnosti. Tedy podmínku ekvivalentní s definicí konvergence.
Pro posloupnosti
Nutná a postačující podmínka pro konvergenci
Posloupnost (an) je konvergentní ⇔ (∀ε > 0)(n0 ∈ ℕ)(∀n,m ∈ ℕ)(n,m > n0 ⇒ |an − am| < ε).
Posloupnost je konvergentní, když rozdíly členů posloupnosti jsou menší než epsilon.
Důkaz: ⇒ Nechť má (an) limitu α ∈ R. Potom lze nalézt n0 ∈ ℕ takové, že pro každé n > n0 je |an − α| n0 platí |an − am| = |an − α + α − am| ≤ |an − α| + |α − am|
Důkaz:
Pokud pro posloupnost platí toto kriterium, je cauchyovské
Pro řady
Řada $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$ konverguje ⇔ když pro každé ε > 0 existuje n0 ∈ ℝ tak, že pro každé n ≥ n0 a p ∈ ℕ platí: |an + an+1 + ··· + an+p| < ε