Naučte se

Lineární algebra

Lineární algebra je pravděpodobně nejznámnější odvětví algebry. V lineární algebře pracujeme predevším s dvěma objekty, kterými jsou vektory a maticemi. Tyto objekty pak existují v nějakém prostoru např. eukleidovském. Vektorové prostory jsou důležitou součástí moderní matematiky.

Matice

Vstupní data reálných problémů jsou často v maticové formě, proto umět pracovat s maticemi a rozumět jim je zásadní schopnost nejen pro informatika. Matice může reprezentovat počítačový obrázek nebo třeba data databáze (katalog knih, databáze zákazníků,...). Vlastnosti matic tedy přímo odráží vlastnosti objektů, které popisují. Matice dále odpovídají lineárním transformacím, tudíž na matice můžeme opět nahlížet geometricky. Tento dvojí pohled – algebraický a geometrický – je nesmírně užitečný pro pochopení a pro práci s maticemi.

Chování objektů v prostoru můžeme popsat soustavami lineárních rovnic, lineárními transformacemi. Vrámci linární algebry se studuje také lineární zobrazení, jako například překlopení, rotace či projekce. Vidíme tedy, že lineární algebra velmi úzce souvisí s geometrií a poskytuje efektivní techniky na řešení geometrických problémů 1.

Lineární algebra má svoje počátky ve studiu vektorů v kartézském dvourozměrném a trojrozměrném prostoru.

Historie

Moderní lineární algebra vznikal v letech 1843 a 1844. V roce 1848 vymyslel Irský matematik a fyzik William Rowan Hamilton kvaterniony. V roce 1844 Hermann Grassmann publikoval knihu Die Lineale Ausdehnungslehre. V roce 1857 pak Arthur Cayley publikoval ideu matic (velikosti 2 x 2).

Využití

Aplikovaná lineární algebra se využívá např. v přírodních vědách, sociálních vědách (hlavně ekonomii a sociologii) nebo archeologii.

  • Komprese obrazu ve formátu jpeg: Každá vrstva je splitnutá na díly o rozměru 8 × 8. Namísto kódování intenzity 64 jednotlivých bodů se obraz celého dílu složí jako lineární kombinace 64 diskrétních harmonických funkcí nad mřížkou 8 × 8 bodů, což je princip tzv. diskrétní kosinové Fourierovy transformace.
  • Kódování - slouží k přenosu informace bez ztráty.
  • Lineární regrese představuje aproximaci daných hodnot přímkou.

 

Koncepty

Knihovny v programovacích jazycích

Eigen (C++)


Související