Definice lineární kombinace
DEFINICE: Nechť je vektor z vektorového prostoru V, když existují čísla takže:
Pomocí pojmu lineární kombinace se definují další důležité objekty jako je lineární obal, lineární nezávislost apod.
Triviální lineární kombinace
DEFINICE: je taková lineární kombinace, která má všechny koeficienty nulové a vždy se rovná nulovému vektoru.
Lineární nezávislost
Mějme vektorový soubor pro který platí DEFINICE:
Pouze triviální lineární kombinace tohoto souboru je rovna nulovému vektoru θ.
Lineární závislost
Mějme vektorový soubor pro který platí DEFINICE: = θ ∧ ∃i ∈ n̂: αi ≠ 0 Existuje netriviální lineární kombinace vektorů, která je rovna nulovému vektoru.
POZOROVÁNÍ: Pokud , pak je LZ. (Soubor obsahuje nulový vektor)
Příklad
Který z těchto soubor§ vektorů je lineárně nezávislý? a. b. c. d.
správně c.
Lineární obal (Span)
Lineární obal je množina všech lineárních kombinací vektorů.
DEFINICE (pro soubor): Buď soubor vektorů z V.
DEFINICE (pro množinu): Buď M ⊆ V
Poznámky
⟨M⟩ ⊂⊂ V ⇔ M ⊆ ⟨M⟩
M ⊂⊂ V ⇔ M = ⟨M⟩
Příklad
Např. =
Rovnost dvou lineárních obalů
Máme dva soubory vektorů (x1, x2, …, xm) a (y1, y2, …, yn), potom
(x1, x2, …, xm) = (y1, y2, … , yn) ⇔ dim(x1, x2, … , xm) = dim(y1, y2, … , yn)
= dim(x1, … , xn, y1, … , ym)
DŮKAZ: prostor $$dim(x_1, x_2, … , x_m)k$, můžeme najít jeho bázi, tyto vektory jsou LN i ve větším obalu.