Lineární kombinace

@andrea@andrea

Definice lineární kombinace

DEFINICE: Nechť xx je vektor z vektorového prostoru V, když existují čísla α1,…,αn∈Tα_1, … , α_n ∈ T takže:

x=∑i=1nαi⋅xix=\sum_{i=1}^{n} α_i·x_i

Pomocí pojmu lineární kombinace se definují další důležité objekty jako je lineární obal, lineární nezávislost apod.

Triviální lineární kombinace

DEFINICE: je taková lineární kombinace, která má všechny koeficienty nulové a vždy se rovná nulovému vektoru.

Lineární nezávislost

Mějme vektorový soubor (x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, … , x_n) pro který platí DEFINICE: ∑i=1nαi⋅xi=θ→α1=…=αn=0\sum_{i=1}^{n} α_i·x_i = θ \to α_1 = … = α_n = 0

Pouze triviální lineární kombinace tohoto souboru je rovna nulovému vektoru θ.

Lineární závislost

Mějme vektorový soubor (x1,x2,…,xn)(x_1, x_2, … , x_n) pro který platí DEFINICE: ∑i=1nαi⋅xi\sum_{i=1}^{n} α_i·x_i = θ ∧ ∃i ∈ n̂: αi ≠ 0 Existuje netriviální lineární kombinace vektorů, která je rovna nulovému vektoru.

POZOROVÁNÍ: Pokud ∃i∈n^:xi=θ\exists i\in\hat{n}: x_i=\theta, pak (x1,…,xn)(x_1,\dots,x_n) je LZ. (Soubor obsahuje nulový vektor)

Příklad

Který z těchto soubor§ vektorů je lineárně nezávislý? a. sin⁡2(x);cos⁡2(x);3\sin^2(x); \cos^2(x); 3 b. 0;2x;sin⁡(x);0; 2x; \sin(x); c. 1;1+x;x2;x3;x41; 1+x; x^2; x^3; x^4 d. 1+x;x2;2+2x−x21+x; x^2; 2+2x-x^2

správně c.

Lineární obal (Span)

Lineární obal je množina všech lineárních kombinací vektorů.

DEFINICE (pro soubor): Buď (x1,x2,...,xn)(x_1, x_2, ..., x_n) soubor vektorů z V.

⟨x1,x2,...,xn⟩={∑i=1nαi⋅xi∣∀i∈n^,αi∈T}⟨x_1, x_2, ..., x_n⟩ = \{\sum_{i=1}^{n} α_i·x_i | ∀i ∈ n̂, α_i ∈ T\}

DEFINICE (pro množinu): Buď M ⊆ V

⟨M⟩={∑i=1nαi⋅xi∣∀i∈n^,αi∈T,xi∈M}⟨M⟩ = \{ \sum_{i=1}^{n} α_i·x_i | ∀i ∈ n̂, α_i ∈ T, x_i ∈ M\}

Poznámky

⟨M⟩ ⊂⊂ V ⇔ M ⊆ ⟨M⟩

M ⊂⊂ V ⇔ M = ⟨M⟩

Příklad

R2=⟨1,0⟩⊕⟨0,1⟩ℝ^2 = ⟨1, 0⟩ ⊕ ⟨0, 1⟩

Např. R3ℝ^3 = ⟨(1,2,3),(2,1,0)⟩=α(1,2,3)+β(2,1,0);α∈R,β∈R={(α+2β,2α−β,3α);α∈R,β∈R}.⟨(1, 2, 3), (2, 1, 0)⟩ = {α(1, 2, 3) + β(2, 1, 0); α ∈ R, β ∈ R} = \{(α + 2β, 2α - β, 3α); α ∈ ℝ, β ∈ ℝ\}.

Rovnost dvou lineárních obalů

Máme dva soubory vektorů (x1, x2, …, xm) a (y1, y2, …, yn), potom
(x1, x2, …, xm) = (y1, y2, … , yn) ⇔ dim(x1, x2, … , xm)  = dim(y1, y2, … , yn)

                          = dim(x1, … , xn, y1, … , ym)

DŮKAZ: prostor $$dim(x_1, x_2, … , x_m)maˊdimenzimá dimenzik$, můžeme najít jeho bázi, tyto vektory jsou LN i ve větším obalu.