Třída prvku v ekvivalenci

Nechť R je ekvivalence na množině A, potom každý prvek $a ∈ A$ nazýváme třídou prvku a v ekvivalenci R podmnožinu

$[a]_R = \{a ∈ A ; b∼a\}$

Např: 4 je třída ekvivalence určená prvkem 0 rovna $[0] = \{4k | k ∈ ℤ\}$ Podobně $[1] = \{4k + 1 | k ∈ Z\}$. Vidíme, že takto dostaneme 4 různé třídy ekvivalence, jejichž sjednocení pokrývá všechna celá čísla, $[0] ∪ [1] ∪ [2] ∪ [3] = ℤ$.

• $∀ b,c ∈ [a]_R$ platí bRc
• $∀ b ∈ [a]_R a c ∈ A$ platí $bRc ⇒ c ∈ [a]_R$
• $∀ b ∈ [a]_R$ platí $[a]_R = [b]_R$
• $∀ a, b ∈ A$ platí $aRb ⇔ [a]_R = [b]_R$
• $∀ a, b ∈ A$ platí $[a]_R = [b]_R$ XOR $[a]_R< ∩ [b]_R = ∅$ dvě různé třídy ekvivalence jsou nutně disjunktní

VĚTA

Každá ekvivalence na neprázdné množině X definuje rozklad na této množině a každý rozklad na X definuje ekvivalenci.

DŮKAZ

Nechť R je ekvivalence na množině X. Potom existuje zobrazení $f : X → X$ takové, že platí R = f ◦ f⁻¹

Nechť X/R = $\{X^i; i ∈ I\}$ je rozklad množiny X podle ekvivalence R. V každé třídě $X^i$ zvolíme jeden prvek xⁱ jakožto reprezentanta třídy $X^i$. Zobrazení $f$ bude přiřazovat každému prvku x ∈ X reprezentanta $x^i$ třídy $X^i = [x]^R$.

Reprezentace ekvivalence pomocí tohoto zobrazení není ovšem minimální

Poznámka: Za zobrazení f jsme mohli vzít i přirozené zobrazení $f : X → P(X), f(a) = [a]^R$.