@andreaKdyž chceme něco třídit, tak to nutně nemusí být jenom čísla které uspořádáme podle hodnoty. Můžeme, chtít uspořádat i objekty, mezi kterými je nějaká relace které říkáme uspořádání.
Předuspořádání (kvaziuspořádání, polouspořádání)
Máme množinu a na ní relaci . Pak o řekneme, že je předúspořádáním množiny , pokud má následující vlastnosti:
- Reflexivita. platí .
- Tranzitivita. Pokud pro nějaké tři prvky x, y, z ∈ X a platí R(x,y) a R(y,z), pak pro ně platí i R(x,z).
Částečné uspořádání
Anglicky partially ordered set. Částečné spořádání je relace, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní.
Částečné uspořádání se podobá relaci ekvivalence, kde požadujeme reflexivitu a tranzitivitu, ale místo symetrie požadujeme antisymetrii. Proč je uspořádání částečné? Relace nemusí být definovaná pro všechny prvky a některé z nich jsou neporovnatelné.
Částečně uspořádané množiny lze graficky znázornit pomocí Hasseových diagramů.
Lineární uspořádání
Rekneme, že relace R na množině X je lineární uspořádání, jestliže je to uspořádání a navíc pro každé x, y∈X je xRy nebo yRx. Někdy se taková relace nazývá řetězec.
Díky konceptu úplného uspořádání si můžeme racionální čísla geometricky představovat jako body na číselné ose. Skutečně, protože umíme každé racionální číslo porovnat s každým jiným racionálním číslem, můžeme je tímto způsobem na přímce uspořádat.
Nech (A,<) je uspořádaná množina
- Nejmenší prvek je prvek
menší než všechny ostatní
, x ∈ A takový, že (∀y ∈ A) x ≤ y. - Největší prvek je prvek
větší než všechny ostatní
, x ∈ A takový, že (∀y ∈ A) x ≥ y. - Minimální prvek je prvek x ∈ A takový, že (∀ y ∈ A) y ≤ x ⇒ x ≤ y.
- Maximální prvek je prvek x ∈ A takový, že (∀ y ∈ A) y ≤ x ⇒ x ≥ y.
Předuspořádaná množina je tenká kategorie
Boolova algebra
Na Booleovu algebru můžeme ekvivalentně pohlížet jako speciální případ uspořádané množiny.
Intervaly
Pomocí uspořádání definujeme speciální podmnožiny množiny ℝ a to intervaly.
[1]: Matoušek, J. a Nešetřil, J.; Kapitoly z diskrétní matematiky, Praha, 2002