Komplexní číslo

Komplexní čísla rozšiřují tradiční číselné množiny. Imaginární číslo se označuje jako $i$ a je definováno jako číslo, které je výsledkem odmocniny čísla -1.

Je-li $z ∈ \mathbb{C}$ komplexní číslo tvaru

kde $i$ je imaginární jednotka s vlastností $i^2 = −1$.

• O $a$ mluvíme jako o reálné části čísla $z$ a značíme ji $\Re(z)$, potom
• $b$ je imaginární části čísla $z$ a značí se $Im(z)$.

Komplexní čísla si proto můžeme představovat jako body v komplexní rovině v níž máme pravoúhlý souřadný systém, kde počátku odpovídá číslo $0 = 0 + 0i$. Na vodorovnou osu vynášíme reálnou část komplexního čísla a na svislou osu imaginární část komplexního čísla (tzv. komplexní či Gaussova rovina).

Operace s komplexním číslem

Rovnost

Dvě komplexní čísla $z_1 =a_1 + b_1i$ a $z_2 =a_2+b_2i$, $a1,a2,b1,b2 ∈R$,se rovnají, píšeme $z_1 = z2$, právě když se rovnají jejich reálné a imaginární části. Komplexní čísla sčítáme a násobíme podle následujících předpisů

Sčítání čísel

$z_1 + z_2 = (a_1 +a_2)+(b_1 +b_2)i$

Sčítání je tzv. po složkách a násobení formálně odpovídá roznásobení závorek a využití vztahu $i^2 = −1$. Množina $\mathbb{C}$ s takto zavedenými binárními operacemi tvoří těleso.

Násobení čísel

$z_1\times z_2 = a_1a_2 − b_1b_2 +(a_1b_2 +a_2b_1)i$.

Je dobré si uvědomit, že symbol + v tomto zápisu nehraje roli algebraické operace. Je to vlastně jen oddělovač, který říká co je reálná část a imaginární část komplexního čísla. Jinak řečeno, jde o jiný zápis uspořádané dvojice $(a, b) ∈ \mathbb{R}^2$.

Číslo komplexně sdružené

Číslo komplexně sdružené k $z$ definujeme předpisem

$\bar{z} = a − bi$. Geometricky tato operace představuje zrcadlení vůči reálné ose v Gaussově rovině.

Věty

Pro každé $n ∈ ℕ$ a pro každé komplexní číslo

$z = r(\cos(x) + i\sin(x))$ platí

Moivreova věta

Lze odvodit jednoduché pravidlo pro mocnění komplexních čísel, tzv. Moivreovu větu,

$z^n = [r(\cos(ϕ) + i\cdot \sin(ϕ))]^n = r^n(\cos(nϕ) + i · \sin(nϕ))$.

Pro každé přirozené číslo n a libovolné reálné číslo x platí:

$(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(n\cdot x) + i\sin(n\cdot x)$.

Využití

V elektrotechnice se komplexní čísla používají k popisu obvodů obsahujících střídavý proud. V kvantové fyzice je používáme k popisu vlnových funkcí a pravděpodobnostní interpretace kvantové mechaniky je založena na kvadrátech komplexních amplitud. Kvantovka bez komplexních čísel by zformulovat šla, ale byla by to celkem hrůza. Komplexní čísla do toho popisu daleko lépe zapadají.