Naučte se

Derivace

Definice derivace v bodě

DEFINICE: Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu a ∈ ℝ. Pokud existuje následující limita, nazveme její hodnotu derivací funkce f v bodě a

$$f'(a) = \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}$$

Pokud $f'(a) ∈ ℝ$, pak je funkce f diferencovatelná v bodě a.

Derivace funkce

Buď f funkce s definičním oborem Df. Nechť M označuje množinu všech a ∈ Df takových, že existuje konečná derivace f'(a). Derivací funkce f nazýváme funkci s definičním oborem M, která každému x ∈ M přiřadí f'(x). Tuto funkci značíme symbolem f'.

Tečna ke grafu funkce

Nechť existuje f'(a). Derivací funkce získáme směrnici tečny.
Je-li funkce f spojitá v bodě a a.

  • f'(a) = ±∞, nazýváme přímku s rovnicí x = a. (rovnoběžná s x)
  • f'(a) ∈ ℝ, nazýváme přímku s rovnicí y = f(a) + f'(a)(x − a).

Důležité věty

Nechť funkce f a g jsou diferencovatelné v bodě a. Existují-li derivace f′(a), g′(a) Potom platí věty

Věta o derivaci součtu a rozdílu

$$(f ± g)'(a) = f'(a) ± g'(a)$$

Věta o derivaci součinu:

$$(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a).$$

Pravidlu pro derivaci součinu se někdy též říká Leibnizovo pravidlo.

Věta o derivaci podílu

$(\frac{f}{g})'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2} \text{, pokud g(a) ≠ 0}$.

Věta o derivace složené funkce)

Nechť g je funkce diferencovatelná v bodě a, f je diferencovatelná v bodě g(a). Potom funkce f ◦ g je diferencovatelná v bodě a a platí $$(f ◦ g)'(a) = f'(g(a))*g'(a).$$

Derivace vyšších řádů

Derivací funkce f dostáváme novou funkci f', jejíž definiční obor ovšem může být menší než původní Df . Nyní můžeme znovu derivovat f', tj. sestrojit f''. Rekurzivně tedy definujeme
f(0)(x) = f(x), f(n)(x) = (f(n-1))'(x), n >= 1

Vlastnosti derivace

Již jsme zavedli 2 lokální vlastnosti funkcí. Máme-li zadánu funkci f a bod a v jejím definičním oboru, můžeme zkoumat spojitost funkce f v bodě a a diferencovatelnost funkce f v bodě a. Jak spolu tyto pojmy souvisí?

VĚTA: Je-li f funkce diferencovatelná v bodě a, pak je spojitá v bodě a. Tedy platí implikace $ f'(a) ∈ ℝ ⇒ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$,

Obrácené tvrzení neplatí. Přesněji, ze spojitosti funkce f v bodě a neplyne její diferencovatelnost v bodě a.

Například f(x) = |x| nemá v bodě a = 0 derivaci.

Existují funkce spojité na celém ℝ nemající derivaci ani v jednom bodě. Např. $ f(x) = \sum_{i=0}^\infty \frac{\{10^nx\}}{10^n} $.

Související