Definice derivace v bodě
DEFINICE: Nechť $f$ je funkce definovaná na okolí bodu a ∈ ℝ. Pokud existuje následující limita, nazveme její hodnotu derivací funkce f v bodě a
$$f'(a) = \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}$$Pokud $f'(a) ∈ ℝ$, pak je funkce f diferencovatelná v bodě a.
Derivace funkce
Buď f funkce s definičním oborem Df. Nechť M označuje množinu všech a ∈ Df takových, že existuje konečná derivace f'(a). Derivací funkce f nazýváme funkci s definičním oborem M, která každému x ∈ M přiřadí f'(x). Tuto funkci značíme symbolem f'.
Tečna ke grafu funkce
Nechť existuje f'(a). Derivací funkce získáme směrnici tečny.
Je-li funkce f spojitá v bodě a a.
- f'(a) = ±∞, nazýváme přímku s rovnicí x = a. (rovnoběžná s x)
- f'(a) ∈ ℝ, nazýváme přímku s rovnicí y = f(a) + f'(a)(x − a).
Důležité věty
Nechť funkce f a g jsou diferencovatelné v bodě a. Existují-li derivace f′(a), g′(a) Potom platí věty
Věta o derivaci součtu a rozdílu
$$(f ± g)'(a) = f'(a) ± g'(a)$$
Věta o derivaci součinu:
$$(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a).$$
Pravidlu pro derivaci součinu se někdy též říká Leibnizovo pravidlo.
Věta o derivaci podílu
$(\frac{f}{g})'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2} \text{, pokud g(a) ≠ 0}$.
Věta o derivace složené funkce)
Nechť g je funkce diferencovatelná v bodě a, f je diferencovatelná v bodě g(a). Potom funkce f ◦ g je diferencovatelná v bodě a a platí $$(f ◦ g)'(a) = f'(g(a))*g'(a).$$
Derivace vyšších řádů
f(0)(x) = f(x), f(n)(x) = (f(n-1))'(x), n >= 1
Vlastnosti derivace
Již jsme zavedli 2 lokální vlastnosti funkcí. Máme-li zadánu funkci f a bod a v jejím definičním oboru, můžeme zkoumat spojitost funkce f v bodě a a diferencovatelnost funkce f v bodě a. Jak spolu tyto pojmy souvisí?
VĚTA: Je-li f funkce diferencovatelná v bodě a, pak je spojitá v bodě a. Tedy platí implikace $ f'(a) ∈ ℝ ⇒ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$,
Obrácené tvrzení neplatí. Přesněji, ze spojitosti funkce f v bodě a neplyne její diferencovatelnost v bodě a.
Například f(x) = |x| nemá v bodě a = 0 derivaci.
Existují funkce spojité na celém ℝ nemající derivaci ani v jednom bodě. Např. $ f(x) = \sum_{i=0}^\infty \frac{\{10^nx\}}{10^n} $.