Derivace

@andrea@andrea

Definice derivace v bodě

Nechť ff je funkce definovaná na okolí bodu a∈Ra ∈ ℝ. Pokud existuje následující limita, nazveme její hodnotu derivací funkce ff v bodě aa

f′(a)=lim⁡x→af(x)−f(a)x−af'(a) = \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) − f(a)}{x − a}

Pokud f′(a)∈Rf'(a) ∈ ℝ, pak je funkce f diferencovatelná v bodě a.

Derivace funkce

Buď f funkce s definičním oborem Df. Nechť M označuje množinu všech a ∈ Df takových, že existuje konečná derivace f'(a). Derivací funkce f nazýváme funkci s definičním oborem M, která každému x ∈ M přiřadí f'(x). Tuto funkci značíme symbolem f'.

Tečna ke grafu funkce

Nechť existuje f'(a). Derivací funkce získáme směrnici tečny. Je-li funkce f spojitá v bodě aa

Důležité věty

Nechť funkce f a g jsou diferencovatelné v bodě a. Existují-li derivace f′(a), g′(a) Potom platí věty

Věta o derivaci součtu a rozdílu

(f±g)′(a)=f′(a)±g′(a)(f ± g)'(a) = f'(a) ± g'(a)

Věta o derivaci součinu:

(fg)′(a)=f′(a)g(a)+f(a)g′(a).(fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a).

Pravidlu pro derivaci součinu se někdy též říká Leibnizovo pravidlo.

Věta o derivaci podílu

(\frac{f}{g})'(a) = \frac{f'(a)g(a) - f(a)g'(a)}{g(a)^2} \text{, pokud g(a) ≠ 0}.

Věta o derivace složené funkce)

Nechť g je funkce diferencovatelná v bodě a, f je diferencovatelná v bodě g(a). Potom funkce f ◦ g je diferencovatelná v bodě a a platí (f◦g)′(a)=f′(g(a))∗g′(a).(f ◦ g)'(a) = f'(g(a))*g'(a).

Derivace vyšších řádů

Derivací funkce f dostáváme novou funkci f′f', jejíž definiční obor ovšem může být menší než původní Df . Nyní můžeme znovu derivovat f′f', tj. sestrojit f′′f''. Rekurzivně tedy definujeme

f(0)(x)=f(x),f(n)(x)=(f(n−1))′(x),n>=1f^(0)(x) = f(x), f^(n)(x) = (f^{(n-1)})'(x), n >= 1

Vlastnosti derivace

Již jsme zavedli 2 lokální vlastnosti funkcí. Máme-li zadánu funkci f a bod a v jejím definičním oboru, můžeme zkoumat spojitost funkce f v bodě a a diferencovatelnost funkce f v bodě a. Jak spolu tyto pojmy souvisí?

VĚTA: Je-li f funkce diferencovatelná v bodě a, pak je spojitá v bodě a. Tedy platí implikace f′(a)∈R⇒lim⁡x→af(x)=f(a) f'(a) ∈ ℝ ⇒ \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a),

Obrácené tvrzení neplatí. Přesněji, ze spojitosti funkce f v bodě a neplyne její diferencovatelnost v bodě a.

Například f(x) = |x| nemá v bodě a = 0 derivaci.

Existují funkce spojité na celém ℝ nemající derivaci ani v jednom bodě. Např. f(x)=∑i=0∞{10nx}10nf(x) = \sum_{i=0}^\infty \frac{\{10^nx\}}{10^n}