Rovnice
Ekvivalentní úpravy
- Prohození stran rovnice.
- Přičítání téhož čísla, nebo výrazu obsahující neznámou, který je definovaný v celém R, k oběma stranám rovnice.
- Násobení/Dělení obou stran rovnice stejným číslem nebo výrazem s neznámou, který je definovaný a nenulový v celém R.
- Umocnění obou stran rovnice přirozeným mocnitelem, jsou-li obě strany rovnice nezáporné (nebo naopak záporné) v celém oboru řešení rovnice R.
Diofantická rovnice
Jde o lineární rovnici ax + bx = c, pro kterou navíc platí že a, b, c, x, y nál Z. A její řešení také náleží do Z.
VĚTA: tato rovnice má alespoň jedno řešení právě tehdy, když c je násobkem gcd(a, b).
Nerovnice
- Rešíme jako rovnici
- Při násobení záporným číslem - měníme znak nerovnosti!
- Řešením nerovnice je interval
- Řešením soustavy nerovnic je průnik intervalů
- x
- Násobíme-li výrazem s neznámou, není tento výraz vždy kladný, resp. bývá pro určitá čísla kladný a pro určitá záporný. Proto musíme ošetřit oba případy.
Iracionální rovnice
Se neznámá vyskytuje pod odmocninou.
- Určíme si definiční obor.
- Upravíme si výraz, aby se dal snadno umocnit.
- Jedním z možných postupů jak odstranit odmocninu je umocnění rovnice, což je důsledková úprava.
- Některá řešení, která dostaneme jsou přebytečné, ty vyloučíme zkouškou.
Iracionální nerovnice
- Určíme si definiční obor.
- Určíme nulový bod na druhé straně rovnice.
- Určíme platnost pro dané intervaly.
- Pozor na ostré a neostré nerovnosti.
Lineární rovnice s parametrem
Jaké řešení má rovnice v závislosti na určeném parametru.
Diofantická rovnice
Neurčitá polynomiální rovnice, která dovoluje proměnným nabývat pouze hodnot ze ℤ.
Příklad
an+bn=cn
- Pro n = 2 existuje nekonečně mnoho řešení (x,y,z), pythagorejské trojice.
- Pro n > 2 říká Velká Fermatova věta, že neexistuje žádné řešení pro kladná celá čísla a, b, c, které by splňovalo tuto rovnici.
Reciproké rovnice
Polynom charakteristický symetričností svých koeficientů. Jde o speciální případ algebraických rovnic vyšších stupňů – lze je tedy v řadě případů elegantně vyřešit také využitím znalostí o racionálních kořenech polynomu.
- Určit stupeň (nejvyšší exponent x).
- Pokud má sudý stupeň – tedy lichý počet členů, jeho prostřední koeficient nemá symetrický člen.
- Určit druh
- Kladně reciproká 1. druhu, jestliže ak = an-k
- Záporně reciproká 2. druhu, jestliže ak = -an-k
| Rovnice lichého stupně | |
| Záporně reciproká | Kladně reciproká |
| 1∈K rovnici dělíme dvojčlenem (x – 1) |
-1∈K rovnici dělíme dvojčlenem (x + 1) |
| Získáme tak rovnici sudého stupně | |
| Rovnice sudého stupně | |
| Záporně reciproká | Kladně reciproká |
| -1∈K ∧ 1∈K rovnici dělíme dvojčlenem (x2 – 1) |
rovnici dělíme xn/2 přeskupíme členy – stejné koeficienty k sobě zavedeme substituci y = x + 1/x |
| Získáme kladně reciprokou rovnici | Získáme nereciprokou rovnici stupně n/2 |