Formální výraz tvaru: $\sum_{k=0}^{\infty} a_k = a_0 + a_1 + ... $ nazýváme číselnou řadou.
Pokud je posloupnost částečných součtů $s_n := \sum_{k=0}^{\infty} a_k$ konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě mluvíme o divergentní číselné řadě.
Nutná podmínka konvergence řady
VĚTA: Řada $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$ konverguje ⟹ limita sčítanců $\lim\limits_{n \to \infty} a_k = 0$
Poznámka
Když posloupnost sčítanců nemá za limitu 0, tak ta řada diverguje.
Když limita řady jde k 0, tak z toho NEPLYNE, že rada konverguje.
Např. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} $ limita součtů této řady jde o 0, ale řada diverguje.
Např. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ konverguje.
Absolutní konvergence
Řadu $\sum_{i=0}^{\infty} a_i$ nazýváme absolutně konvergentní, pokud řada $\sum_{i=0}^{\infty} \left| a_i \right|$ konverguje.
Postačující podmínky konvergence
Srovnávací kriterium
Analogická jako věta o sevřené posloupnosti, akorát pro řady.
Buďte $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ a $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ číselné řady. Potom platí následující dvě tvrzení.
- Nechť pro každé n ∈ ℕ platí odhad 0 ≤ |an| ≤ bn a nechť řada $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konverguje. Potom řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolutně konverguje.
- Nechť pro každé n ∈ ℕ platí odhad 0 ≤ an ≤ bn a $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje. Potom i řada $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ diverguje.
Důkaz: pomocí Bolzano-Cauchy kriteria.
Leibnizovo kriterium
Nechť an > 0 pro každé n ∈ ℕ a buď (an) monotónní posloupnost konvergující k nule. Potom řada
$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n*a_n$ konverguje.
Řešení: ověřit že a_n je rostoucí a má limitu 0
Podílové kriterium pro řady (d’Alembertovo kritérium / ratio test for series)
Nechť an > 0 pro každé k ∈ ℕ. Potom platí dvě následující tvrzení:
Pokud
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1$ pak $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ diverguje
- $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1$, tak $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ absolutně konverguje.
V podstatě podílové kriterium přeformulované pro řady.