Limita řady

Formální výraz tvaru: $\sum_{k=0}^{\infty} a_k = a_0 + a_1 + ...$ nazýváme číselnou řadou.

Pokud je posloupnost částečných součtů $s_n := \sum_{k=0}^{\infty} a_k$ konvergentní, nazýváme příslušnou řadu také konvergentní. V opačném případě mluvíme o divergentní číselné řadě.

Nutná podmínka konvergence řady

VĚTA: Řada $\sum_{k=0}^{\infty} a_k$ konverguje ⟹ limita sčítanců $\lim\limits_{n \to \infty} a_k = 0$

Poznámka

Když posloupnost sčítanců nemá za limitu 0, tak ta řada diverguje.

Když limita řady jde k 0, tak z toho NEPLYNE, že rada konverguje.

Např. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ limita součtů této řady jde o 0, ale řada diverguje.

Např. $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ konverguje.

Absolutní konvergence

Řadu $\sum_{i=0}^{\infty} a_i$ nazýváme absolutně konvergentní, pokud řada $\sum_{i=0}^{\infty} \left| a_i \right|$ konverguje.

Postačující podmínky konvergence

Srovnávací kriterium

Analogická jako věta o sevřené posloupnosti, akorát pro řady.

Buďte $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ a $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ číselné řady. Potom platí následující dvě tvrzení.

• Nechť pro každé n ∈ ℕ platí odhad $0 ≤ |a_n| ≤ b_n$ a nechť řada $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ konverguje. Potom řada $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ absolutně konverguje.
• Nechť pro každé n ∈ ℕ platí odhad $0 ≤ a_n ≤ b_n$ a $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ diverguje. Potom i řada $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ diverguje.

Důkaz: pomocí Bolzano-Cauchy kriteria.

Leibnizovo kriterium

Nechť a_n > 0 pro každé n ∈ ℕ posloupnost kladných členů a buď (a_n) monotónní posloupnost konvergující k nule. Potom řada

$\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n*a_n$ konverguje.

Řešení: ověřit že a_n je rostoucí a má limitu 0.

Podílové kriterium pro řady (d’Alembertovo kritérium / ratio test for series)

Nechť a_n > 0 pro každé k ∈ ℕ. Potom platí dvě následující tvrzení:

Pokud

• $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \gt 1$ pak $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ diverguje
• $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \lt 1$, tak $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ absolutně konverguje.

V podstatě podílové kriterium přeformulované pro řady.