Definice
Nechť a, b jsou celá čísla. Řekneme, že a dělí b, pokud existuje celé číslo k takové, že b = a·k. Zapisujeme a|b.
Značení
Zapisujeme a|b. Říkáme b je dělitelné a, a dělí b.
V takovém případě a nazýváme faktor b a b je násobek a, také říkáme, že b je dělitelné a.
Formálně
Pro a, b ∈ ℤ platí: a|b ≝ {∃k ∈ ℤ | b=k·a}
Vlastnosti
Pro každé n ∈ ℤ platí 1|n, n|n a n|0.
Nechť a,b,c ∈ ℤ.
Věta 1
Jestliže a|b a a|c, pak a|(b + c).
Podobně jako \frac{b + c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{c}{a}
Důkaz:
(a|b)∧(a|c) ⇔ (b = k.a)∧(c = l.a) ⇒ b+c = (k+l).a ⇔ a|(b+c)
Věta 2
Jestliže a|b, pak a|(nb) pro všechna n ∈ ℤ..
Důkaz
a|b ⇔ b = k.a ⇒ n.b = n.k.a ⇒ a|(nb) pro n ∈ ℤ
Věta 3
Jestliže a|b, právě když |a| | |b|.
Věta 4
Jestliže a|b a b != 0 tak |a| ≤ |b|.
Věta 5
Platí, že a|b a a|c, právě tehdy když a|(mb + nc) pro všechna m, n náleží ℤ.
Věta 6
Jestliže a|(b + c) a současně a|b, pak a|c.
Dělitelnost se zbytkem
Nechť a ∈ ℤ a d ∈ ℕ. Pak existuje q ∈ ℤ a r ∈ ℕ taková, že
a = qd + r, 0 ≤ r < d.