Naučte se

Těleso

Stručná definice

DEFINICE: Uspořádaná trojice (M, ♡, ○),
kde M je množina a 2 operace ♡: M × M → M, ⊕: M × M → M, které mají následující vlastnosti:

  • (M, +) je komutativní grupa. Neutrální prvek této grupy je 0.
  • (M \ {0}, ♡) je komutativní grupa. Jednotkový prvek této grupy je 1.
  • Distributivní zákon: a ♡ (b ⊕ c) = a ♡ b ⊕ a ♡ c.

Vektorový prostor

1. u, v ∈ V: uv = vu komutativní zákon
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = (c, d) ⊕ (a, b)
2. u, v, w ∈ V: (uv) ⊕ w = u ⊕ (vw) asociativní zákon sčítání
((a, b) ⊕ (c, d)) ⊕ (e, f) = (a + c, b + d) ⊕ (e, f) = ((a + c) + e, (b + d) + f) = (a + (c + e), b + (d + f)) = (a, b) ⊕ (c + e, d + f) = (a, b) ⊕ ((c, d) ⊕ (e, f))
3. u ∈ V; ∀α, β ∈ T: α ⊙ (β ⊙ u) = (αβ) ⊙ u asociativní zákon násobení
α ⊙ (β ⊙ (a, b)) = α ⊙ (β·a, β·b) = (α (β·a), α (β·b)) = ((α·β) a, (α·β) b) = (α·β) ⊙ (a, b)
4. u, v ∈ V; ∀α ∈ T: α ⊙ (uv) = (α ⊙ u) ⊕ (α ⊙ v) distributivní zákon pro sčítání vektorů
α ⊙ ((a,b) ⊕ (c,d)) = α ⊙ (a+c, b+d) = α(a+c), α(b+d) = (αa+αc, αb+αd) = (αa, αb) ⊕ (αc, αd) = (α ⊙ (a, b)) ⊕ (α ⊙(c, d))
5. u ∈ V; ∀α, β ∈ T: (α + β) ⊙ u = (α ⊙ u) ⊕ (β ⊙ u) distributivní zákon pro sčítání skalárů
α ⊙ (β ⊙ (a, b)) = α ⊙ (β·a, β·b) = (α (β·a), α (β·b)) = ((α·β) a, (α·β) b) = (α·β) ⊙ (a, b)
6. u ∈ V: 1 ⊙ u = u vlastnost neutrálního prvku
1 ⊙ (a, b) = (1a, 1b) = (a, b)
7. ∃θ ∈ V, ∀u ∈ V: 0 ⊙ u = θ existence nulového prvku
0 ⊙ (a, b) = (0a, 0b) = (0, 0)

Související