Vlastní čísla (v anglické literatuře "eigenvalues") jsou základním konceptem v lineární algebře a souvisejí s transformacemi lineárních operátorů a matic. Jde o skalár, který popisuje, jak se vlastní vektor mění v důsledku lineární transformace nebo násobení maticí.
Zkoumáme lineární operátory a jejich matice . V bude VP nad telesem ℂ.
Co dělá matice zobrazení?
Hledám A ∈ ℒ(V), α ∈ V ℂ a nenulové vektory , takové že .
Definice
λ je vlastním číslem operátoru A, pokud ∃ x != 0 x ∈ V_n Ax = λx.
každé takové je vlastní vektor.
σ(A) - Spektrum: množina všech vlastních čísel - ker(A-λE): vlastní podprostor k λ. Invariantní podprostor vzhledem k A. Hledáme vektory, které jsou v jádru x ∈ ker(A-λE) ⇔ (A-λE)x = 0
Jak najít vlastní čísla? Nejdříve hledáme lambdy. 𝔸𝕩 - λ𝕩 = 0. Abychom ho našli řešíme rovnici det(𝔸 - λ𝔼) = 0 Soubor je LN, pokud každé λ přísluší jinému číslu.
Charakteristický polynom
Pro nalezení vlastních čísel matice musíte zvládnout sestavit charakteristickou rovnici, což zahrnuje znalost determinantů.
Násobnost
Algebraitská násobnost - νa(λ0) - násobnost čísla λ0 kořene PA(λ) Geometrická násobnost - νg(λ0) - defekt operatoru = dim ker(A- λE) dimenze vlastního podprostoru.
Jak moc existuje vlstních vektorů k tomu číslu λ. Číslo je tedy počet LN vlastních vektorů k vlastnímu číslu λ0.
g =< νa(λ0)
Diagonalizace matice
Diagonalizace spočívá v nalezení ortogonální báze vlastních vektorů a jejich vlastních čísel. Tento koncept je důležitý pro zjednodušení a řešení problémů v lineární algebře, diferenciálních rovnicích a fyzice.
je diagonalizovatelná pokud existuje X báze Vn, taková, že XA je diagonální matice. VĚTA: A ∈ ℒ(Vn) je diagonalizovatelná ⇔ ∀ λ0 ∈ σ(A): νa(λ0) = νg(λ0).
Podobnost
A, B jsou podobné ⇔ ∃ P ∈ Tn,n A=P-1BP
Invariantní
A ∈ ℒ(V), P ⊂⊂ V P je invariantní vzhledem k A, pokud A(P) ⊂⊂ V. Znamená to, že zůstávám v podprostoru.