Vlastní čísla

@andrea@andrea

Vlastní čísla (v anglické literatuře "eigenvalues") jsou základním konceptem v lineární algebře a souvisejí s transformacemi lineárních operátorů a matic. Jde o skalár, který popisuje, jak se vlastní vektor mění v důsledku lineární transformace nebo násobení maticí.

Zkoumáme lineární operátory AL(T)A ∈ ℒ(T) a jejich matice 𝔛A𝔛_A. V bude VP nad telesem ℂ.

Co dělá matice zobrazení?

Hledám A ∈ ℒ(V), α ∈ V ℂ a nenulové vektory xTx ∈ T, takové že Ax=αxAx = αx.

Definice

λ je vlastním číslem operátoru A, pokud ∃ x != 0 x ∈ V_n Ax = λx.

každé takové xVnx ∈ V_n je vlastní vektor.

σ(A) - Spektrum: množina všech vlastních čísel - λCPA(λ)=0{λ ∈ ℂ | P_A(λ) = 0} ker(A-λE): vlastní podprostor k λ. Invariantní podprostor vzhledem k A. Hledáme vektory, které jsou v jádru x ∈ ker(A-λE) ⇔ (A-λE)x = 0

Jak najít vlastní čísla? Nejdříve hledáme lambdy. 𝔸𝕩 - λ𝕩 = 0. Abychom ho našli řešíme rovnici det(𝔸 - λ𝔼) = 0 Soubor je LN, pokud každé λ přísluší jinému číslu.

Charakteristický polynom

Pro nalezení vlastních čísel matice musíte zvládnout sestavit charakteristickou rovnici, což zahrnuje znalost determinantů. PA(λ)=detX(AλE)XP_A(λ) = det_X(A - λE)_X

Násobnost

Algebraitská násobnost - νa0) - násobnost čísla λ0 kořene PA(λ) Geometrická násobnost - νg0) - defekt operatoru = dim ker(A- λE) dimenze vlastního podprostoru.

Jak moc existuje vlstních vektorů k tomu číslu λ. Číslo νgν_g je tedy počet LN vlastních vektorů k vlastnímu číslu λ0.

g =< νa0)

Diagonalizace matice

Diagonalizace spočívá v nalezení ortogonální báze vlastních vektorů a jejich vlastních čísel. Tento koncept je důležitý pro zjednodušení a řešení problémů v lineární algebře, diferenciálních rovnicích a fyzice.

AL(Vn)A ∈ ℒ(V_n) je diagonalizovatelná pokud existuje X báze Vn, taková, že XA je diagonální matice. VĚTA: A ∈ ℒ(Vn) je diagonalizovatelná ⇔ ∀ λ0 ∈ σ(A): νa0) = νg0).

Podobnost

A, B jsou podobné ⇔ ∃ P ∈ Tn,n A=P-1BP

Invariantní

A ∈ ℒ(V), P ⊂⊂ V P je invariantní vzhledem k A, pokud A(P) ⊂⊂ V. Znamená to, že zůstávám v podprostoru.